Планк обнаружил, что единственная возможность объяснить парадокс - предположить, что частицы, излучающие волны с частотой со, могут изменять свою энергию только дискретными порциями \del E = h \omega. Коэффициент пропорциональности h вошел в науку как постоянная Планка - нам уже не раз приходилось говорить о ней.
Предположим, что стенки ящика содержат набор излучателей всевозможных частот. Как будут возбуждены излучатели в тепловом поле? Излучатели малой частоты будут вести себя, как полагается по правилам классической статистической физики, для них скачкообразность энергии несущественна. Все они приобретут энергию, соответствующую температуре стенок. Но излучатели, имеющие большую частоту, для которых h \omega больше, чем средняя тепловая энергия, почти все будут с наинизшей энергией. Только очень малая доля будет возбуждена. Чтобы их возбудить, нужно передать им энергию h \omega, а с помощью столкновений нельзя передать энергию, много большую, чем средняя тепловая энергия частицы. Вероятность такого события экспоненциально мала. Эти излучатели как будто заморожены, и поэтому экспоненциально мала интенсивность испускаемого ими света. Так объясняется закон Вина. Основываясь на предположении о дискретном изменении энергии излучателей, Планк получил формулу, описавшую экспериментальное распределение интенсивности для всех частот в зависимости от температуры стенок. Для согласия с опытом достаточно было только правильно подобрать константу h. Так было получено численное значение этой величины: h \appr 10-27 эрг \cdot с. Понятно, почему скачкообразность излучателей не проявляется в других случаях - порции энергии так малы, что изменение энергии кажется непрерывным.
Волна или частица?
Следующее важное событие произошло в 1905 году - появилась замечательная работа Эйнштейна по теории фотоэффекта: вырывания электронов из атома при облучении. В этой работе было показано, что фотоэффект можно объяснить, только предположив, что свет представляет собой набор частиц-фотонов, которые, ударяясь об электрон, выбрасывают его из атома. Представление о свете как о волне не могло объяснить той концентрации энергии на одном электроне, которая необходима для его вырывания.
Эйнштейн показал, что при поглощении или
рождении кванта света - фотона - одновременно исчезает
или появляется количество движения p = h \omega/c.
Таким образом, фотон имеет импульс (количество движения),
связанный с длиной волны \lambda соотношением
р=2\pi h/\lambda.
Здесь мы использовали известную связь частоты \omega с длиной волны \lambda, \omega = 2\pi/\lambda.
Энергия волны заданной частоты может изменяться только порциями h \omega, аналогично тому, как изменялась энергия излучателей в рассуждении Планка. Дискретность распространилась и на электромагнитные волны. Более того, формула Планка получается из предположения, что электромагнитное излучение в ящике есть газ частиц-фотонов, находящийся в тепловом равновесии со стенками. Кстати, Эйнштейн получил Нобелевскую премию 1922 года именно за теорию фотоэффекта, а не за свой главный духовный подвиг - теорию относительности и теорию тяготения.
В некотором смысле точка зрения Эйнштейна означала возврат к ньютоновой теории корпускул. Опять возник вопрос, на который не смог ответить Ньютон: как объединить оба представления - о волновой природе света, доказанной опытами по интерференции и дифракции, и о корпускулярной, необходимой для понимания фотоэффекта. Возник важный парадокс - «дуализм волн-частиц».
Постулаты Нильса Бора
В 1913 году вышла в свет знаменитая работа Нильса Бора, в которой он распространил на атом дискретность возможных значений энергии излучателей, предложенную Планком для объяснения свойств равновесного излучения, - допустимы не все орбиты, а только некоторые. Бор установил правила для нахождения допустимых орбит электрона.
С классической точки зрения электрон, вращающийся вокруг ядра (планетарная модель атома), должен излучать электромагнитные волны. Ведь, вращаясь, электрон движется с ускорением, а по законам классической механики не излучает только заряд, движущийся по прямой с постоянной скоростью.
Согласно правилам Бора электрон может излучать свет только при переходе с одной орбиты на другую, причем порциями с частотой \omega= (En - Em )/h. Здесь En и Em - возможные значения энергий n-той и т-той орбит.
Есть орбита с наименьшей возможной энергией, в этом состоянии электрон живет неограниченно долго - ему некуда переходить. Так объяснялась стабильность атома. Боровские правила квантования объяснили тот удивительный факт, что атомы испускают свет строго дискретных частот, и позволили выразить эти частоты через заряд ядра, заряд и массу электрона и постоянную Планка.
Таким образом, теория описывала все главнейшие свойства атомов, хотя смысл правил квантования Бора оставался загадочным. Недаром Нильс Бор назвал свои правила «постулатами» - недоказанными предположениями.
Их смысл стал ясен только после создания квантовой механики.
Правила квантования Бора - одно из удивительнейших явлений в истории науки. Только гениальным озарением можно объяснить появление этой теории в то время на таких шатких основаниях! Эйнштейн сказал по этому поводу: «Это высшая музыкальность в области теоретической мысли».
Догадка де Бройля
Лишь в 1923 году произошло событие, которому суждено было объяснить смысл правил квантования. Но сначала оно только обострило проблему волн-частиц. Французский физик Луи де Бройль предположил, что частицы обладают таким же дуализмом, как и свет; частицы должны описываться волновым процессом с длиной волны X, так связанной с количеством движения р, как и длина волны световых частиц - фотонов: \lambda = 2 \pi h/p.
Уже через четыре года это удивительное предсказание было подтверждено опытом. К. Дэвиссон, Л. Джермер и Дж. П. Томсон открыли дифракцию электронов на кристаллах. Электрон действительно ведет себя как волна!
Подтвердилась не только волновая природа электрона, но и в точности формула де Бройля для длины электронной волны. История повторилась в обратной последовательности: в случае света была сначала изучена волновая природа, а затем корпускулярная, а у электрона - наоборот.
Квантовая механика
Следующий шаг - важнейшее обобщение догадки де Бройля. В 1926 году Эрвин Шрёдингер получил свое знаменитое уравнение для волновой функции (\рsi-функ-
ции) частицы, движущейся во внешнем поле. В свободном пространстве - это уравнение для волн с постоянной длиной. Его решение и есть волна де Бройля. Но во внешнем поле, например, в кулоновском поле ядра, длина волны изменяется от точки к точке. Особенно просто найти это уравнение для медленно изменяющегося поля. Тогда и длина волны изменяется медленно, и в каждой точке она определяется формулой де Бройля, но с изменяющимся от точки к точке импульсом р (r). Его можно найти из выражения для энергии:
Первое слагаемое здесь - кинетическая энергия, второе слагаемое - потенциальная. Уравнение Шрёдингера легко получается из уравнения для волн де Бройля, в которое входит слагаемое р2\psi, - надо только заменить в нем импульс р на р (r). Наверное, подобные соображения и помогли Шрёдингеру найти это замечательное уравнение.
Оказалось, что решение уравнения Шрёдингера для атома водорода получается в согласии с правилами квантования Бора не для всех энергий, а только для дискретных значений, совпадающих с теми, которые следовали из боровских правил. Объяснились многие детали устройства атомов, которые не объяснялись постулатами Бора. Стал ясен и смысл правила квантования - оно означает, что в области движения электрона должно укладываться целое число волн де Бройля. Но об этом мы подробно поговорим еще в следующих разделах и даже найдем решения упрощенного уравнения Шрёдингера для разных случаев.