ЛЕВИ-СТРОСС: Теперь рассмотрим наш пример. В нотации, которую вы объяснили в прошлый раз, перестановки f и g записываются так:
Переставим их двумя возможными способами:
Как видите, их композиция коммутативна, следовательно, в нашей структуре с обобщенным обменом любой мужчина может жениться на дочери брата своей матери.
ВЕЙЛЬ: Так как подгруппа S4, порожденная f и g, является абелевой, она будет либо циклической, либо прямым произведением двух циклических групп. В этом случае расчет
73
показывает, что перестановка f определяется как сочетание g с самой собой (/ =
= g2). Следовательно, мы имеем дело с первой из возможных ситуаций. Быть может, так будет всегда? Вовсе нет: составим пример, в котором подгруппа, порожденная f и g, будет прямым произведением двух циклических групп. Предположим, что допустимы следующие разновидности брака:
(Mt) мужчина А и женщина D
(M2) мужчина В и женщина С
(M3) мужчина С и женщина В
(M4) мужчина D и женщина А
В этом случае кланы А и D, равно как и В и С, обменялись женщинами, следовательно, мы имеем дело с ограниченным обменом. Предположим, что дети матерей из кланов А, В, С и D принадлежат к кланам В, A, D и С соответственно. Мы можем определить функции f и g прежним образом:
Обратите внимание, что f — та же перестановка, что и в предыдущем примере, а перестановка g изменилась. Но и в этом случае их композиция коммутативна: 11
Отличие от предыдущего примера заключается в том, что теперь и f, и g являются элементами второго порядка (убедитесь в этом), следовательно, ни один из них не может быть степенью другого. Следовательно, подгруппа, порожденная f и g, будет произведением двух циклических групп. Более того, это будет группа Клейна!
ЛЕВИ-СТРОСС: Еще один вопрос, который интересует нас, этнологов, при изучении браков, звучит так: можно ли найти группы людей, которые не связаны
74
отношениями родства между собой? Общество, в котором можно выделить такие группы, называется сократимым. Допустим, что в элементарном племени, состоящем из четырех кланов, ограниченный обмен проводится по следующим правилам:
(Mt) мужчина А и женщина В
(M2) мужчина В и женщина А
(M3) мужчина С и женщина D
(M4) мужчина D и женщина С
Дети принадлежат к тем же кланам, что и их матери. Функции f и g вычисляются как и обычно, однако будет не лишним напомнить, как именно это делается. В браке М1 жена принадлежит к клану В, следовательно, к этому же клану будут принадлежать и ее дети. Мужчина из клана В вступает в брак по правилу M2, поэтому f(M1) = M2 a g(M1) = M1 так как женщины из клана В подчиняются первому правилу. Получим таблицу
Очевидно, что кланы А и В никогда не породнятся с кланами С и D. Следовательно, рассматриваемое общество является сократимым. В противном случае общество называется несократимым.
ВЕЙЛЬ: Обратите внимание, господин Леви-Стросс, что достаточно рассмотреть несократимые общества, поскольку любое племя можно разделить на несколько несократимых сообществ. Это лишь одно из множества проявлений общего принципа, используемого в самых разных областях математики: если какой-либо объект можно разделить на несколько простых, при этом правила разделения известны, то для анализа всех возможных объектов достаточно изучить эти простые объекты. Представим несократимые общества на языке теории групп. Общество является несократимым тогда и только тогда, когда две любые разновидности брака связаны между собой перестановками f и g, то есть если одну из них можно получить из другой посредством этих перестановок. Не будем забывать, что f и g позволяют восстановить все генеалогическое древо! Очевидно, что это свойство в вашем примере не выполняется: применив f и g к М1 мы можем получить только М1 и М2
Тем не менее два первых общества являются несократимыми. Напомним таблицу, которую мы привели в самом начале:
75
Докажем, что на основе брака Мх можно получить все остальные. В самом деле, применив f и g, получим M3 и M2 соответственно. Если же мы применим сначала f, а затем g, то получим M4 в силу равенства g(f(M1)) = g(M3) = M4. Осталось показать, как можно получить М1. Один из возможных вариантов — дважды применить f, так как f2(M1) = f(M3) = М1. Вот и все! Следовательно, рассматриваемое общество является несократимым.
ЛЕВИ-СТРОСС: Постойте, разве не нужно доказать это же утверждение, взяв за основу M2, М3 и M4 вместо М1?
ВЕЙЛЬ: На самом деле этого не требуется, и сейчас я объясню, почему. Мы знаем, что из Мх можно вывести все возможные разновидности брака. Допустим, что мы хотим вывести все разновидности брака из какого-либо другого Mi. Обозначим через h элемент подгруппы, порожденной f и g, который позволяет перейти от М1 к Mi, то есть такой элемент, для которого выполняется условие h(M1) = Mi.
Так как h принадлежит группе, для него определен обратный элемент h-1. Припишем h-1 с двух сторон равенства и получим h-1(h(M1)) = h-1(Mi). Композицией h и h-1 является тождественное преобразование — вспомните определение обратного элемента! Таким образом, Мх = h-1(Mi). Это означает, что мы можем получить М1 из Mi. Так как правило M1 связано со всеми остальными разновидностями брака, с ними будет связано и любое другое Mi. Подгруппы Sn, обладающие этим свойством, называются транзитивными. Имеем:
Племя, состоящее из n кланов, является несократимым тогда и только тогда, когда подгруппа Sn , порожденная перестановками f и g, является транзитивной.
Объединив это утверждение с предложением 1, получим, что для изучения несократимых обществ, удовлетворяющих трем нашим условиям, необходимо знать: а) какие циклические подгруппы Sn транзитивны и б) какие прямые произведения двух циклических подгрупп Sn транзитивны. Нетрудно видеть, что подгруппа Н
76
группы Sn может быть транзитивной только тогда, когда она содержит по меньшей мере n элементов. Допустим, что эта подгруппа содержит m элементов, где m < n.
Обозначим их через h1, h2... hm. С M1 будут связаны следующие разновидности брака: h1(M1), h2(M2) ... hm(Mm). В лучшем случае все они будут различны, однако этот перечень никогда не будет полным, так как он содержит m элементов, а m меньше n. Применив некоторые другие свойства симметрической группы, найти циклические транзитивные подгруппы Sn несложно, однако давайте остановимся на этом — иначе мы никогда не закончим наш разговор о браках!
Племя мурнгин
ЛЕВИ-СТРОСС: Хотя ваши объяснения по сути намного лучше тех, что преддожили первые антропологи, во всех рассмотренных нами примерах они смогли решить поставленную задачу явным перебором всех возможных сочетаний. Теория групп абсолютно необходима тогда, когда число кланов по-настоящему велико или же когда в правилах заключения браков экзогамия сочетается с эндогамией.
Я понял это, едва начав изучать племя аборигенов мурнгин, живущих на севере Австралии, в Арнем-Ленде. Незадолго до того как я начал работу над докторской, один из крупнейших специалистов по австралийским аборигенам Адольфус Петер Элкин указал, что исключительно формальный анализ систем родства у аборигенов не имеет смысла, поскольку никак не помогает узнать обычаи племени.