Для этого нам потребуется утверждение, дополняющее лемму 1. Напомню, как звучит эта лемма (сменим обозначения во избежание путаницы):
Лемма 1. В браке разновидности (х, у z, t) жена принадлежит к клану (х, у + 1, z + t).
Мы знаем, что t = d + q, а (х, у + 1, 2 + t) = (а + 1, b + 1, а + с + d + 1), так как к этому клану принадлежит жена. Приравняв координаты, получим систему уравнений:
х = а +1, y + 1 = b + 1, z + d + q = a + c + d + 1,
где мы заменили f на d + q. Первое равенство не требует преобразований, так как значение х известно. Надеюсь, господин Леви-Стросс, что вы не забыли закон сокращения, который я уже объяснял. Если мы применим его к двум последним уравнениям, получим
81
y = b, z + q = a + c + 1.
Мы определили значение у. Чтобы вычислить z, заметим, что в циклической группе ℤ/2 результатом сложения любого элемента с самим собой всегда будет 0, так как 0 + 0 = 1 + 1 = 0. Так, если мы прибавим q к обеим частям равенства, получим z = a + c + q + 1. Таким образом, если женщина из клана
(а + 1, b + 1, а + с + d + 1)
вступает в брак по формуле d + q, ее разновидность брака будет такова:
g(a, b, с, d) = (a+ 1, b, a+ c + q + 1, d + q).
ЛЕВИ-СТРОСС: Теперь я вспомнил, почему мне пришлось обратиться к вам за помощью, господин Вейль.
ВЕЙЛЬ: Следует признать, господин Леви-Стросс, что мне также потребовалось немало времени, чтобы провести эти рассуждения. Важно, что теперь, когда мы определили функции f и g, мы можем автоматически ответить на ваш вопрос о том, как формулы (I) и (II) должны передаваться от родителей к детям, чтобы в следующем поколении мужчина мог жениться на дочери брата своей матери. Мы определили, что это свойство эквивалентно коммутативности композиции f и g. Произведем вычисления. С одной стороны, имеем:
g(f(a, b, с, d))=g(a +1, b + 1, a + c + d + 1, d + p)
= ((a +1) +1, b +1, (a + 1) + (a + c + d + 1)+ q + 1,(d + p) + q)
= (a, b +1, c + d + q + 1, d + p + q),
так как мы можем упростить слагаемые, которые фигурируют дважды в каждой из координат. С другой стороны, применив аналогичные упрощения, получим
f(g(a, b, с, d))=f(a+1, b, a + c + q + 1, d + q)
= ((a +1) +1, b +1, (a +1) + (a + c + q +1) +(d+q)+ 1,(d+q) +p)
= (a, b +1, c + d +1, d + p + q),
Таким образом, должно выполняться следующее условие:
(а, b + 1, c + d + g +1, d + p + g) = (а, b + 1, с + d +1, d + р + q).
82
Так как первая, вторая и четвертая координаты совпадают, необходимо рассмотреть только третью. Согласно закону сокращения из равенства
c + d + g + 1 = c + d + 1
следует, что q = 0. Напомню: это означает, что формула брака дочерей должна быть той же, что и формула брака их родителей. Следовательно, искомое условие выполняется только в тех обществах, где формула брака передается по модели (1) или (4). Иными словами, либо дети обоих полов сохраняют формулу брака родителей, либо же формулу брака родителей сохраняют только дочери, а сыновья следуют обратной формуле. Рассмотрим два этих случая.
В первом случае рассматриваемое общество очевидно является сократимым: так как формулы брака детей и родителей совпадают, разновидности брака, можно сказать, передаются по наследству. Так, племя делится на две части: в первой браки заключаются по формуле (I), во второй — по формуле (II). Как показано в таблице, порядок элементов f и g равен 4, но их квадраты совпадают:
ЛЕВИ-СТРОСС: Это означает, что в этом племени мужчина может жениться на дочери сестры своей матери.
ВЕЙЛЬ: Равенство f² = g² также означает, что группа, порожденная f и g, содержит не 16 элементов, как можно было бы ожидать, а всего 8: е, f, f², f3, g, fg, f²g и f3g. Следовательно, рассматриваемое общество является сократимым. Между прочим, рассматриваемая группа изоморфна группе ℤ/2 х ℤ/4.
ЛЕВИ-СТРОСС: Рассмотрим оставшийся случай, когда дочери придерживаются той же формулы заключения брака, что и родители, сыновья — обратной, следовательно, р = 1, q = 0. Таким образом, функции f и g будут равны:
f(а, b, с, d) = (а+1, b+1, а + с + d+1, d +1), g (a, b, c, d) = (a+1, b, a+c +1, d );
Функция g будет той же, что и в предыдущем случае. Мы уже знаем, что она является функцией четвертого порядка. Вычислим порядок функции f. Для этого применим ее несколько раз, пока не получим тождественное преобразование. Если я не ошибаюсь, достаточно применить ее дважды:
83
f²(а, b, с, d) = f(а+1, b+1, а+с+d+1, d+1)
= ((а+1)+1, (b+1)+1,(a+1) + (a+c+d+1)+(d+1)+1,(d+1)+1)
= (а, b, с, d),
а также использовать упрощения, которые вы продемонстрировали выше.
Более того, f и g независимы, следовательно, порожденная ими группа изоморфна группе ℤ/2 х ℤ/4. Этого достаточно, чтобы доказать: рассматриваемое племя является несократимым, так как в группе ℤ/2 х ℤ/4 недостаточно элементов восьмого порядка для преобразования 16 разновидностей брака между собой.
ВЕЙЛЬ: Поздравляю вас, господин Леви-Стросс! Вы все поняли! В этом случае также можно показать, что общество является сократимым, применив новый, более прямой метод, который я вам сейчас объясню. Рассмотрим брак вида (а, b, с, d). Согласно нашим расчетам, сыновья от этого брака вступят в брак по правилу (a +1,b +1,a + c + cf +1,cf +1).
Важно заметить, что разность между первой и четвертой координатами равна:
(b+1)-(d+1)=b-d.
Точно такой же будет разность между первой и четвертой координатами в исходной разновидности брака! Математики говорят, что эта величина инвариантна относительно f. Более того, она также инвариантна относительно g, так как в этом случае вторая и четвертая координаты не меняются. Следовательно, композиция f и g позволяет получить только те правила, в которых значение b — d равно исходному. К примеру, начав с (1, 1, 1, 0), мы никогда не сможем получить (1, 0, 1, 0), так как в первом случае разность между второй и четвертой координатами равна 1, во втором — 0.
Это означает, что представители клана D2, которые вступают в брак по правилу (I), принадлежат к иной группе, чем представители клана С2, вступающие в брак по той же формуле. Выполнив некоторые действия, мы сможем определить эти две группы в явном виде:
Первая группа.
84
Вторая группа.
ЛЕВИ-СТРОСС: Любой сказал бы, что аборигены мурнгин знали теорию групп.
ВЕЙЛЬ: Когда система, которая на первый взгляд кажется невообразимо сложной, путем умелого выбора обозначений превращается в нечто столь простое, как абелева группа, я воспринимаю это как чудо. Я не осмелюсь сказать, что принцип, согласно которому любой мужчина может жениться на дочери брата своей матери, был введен, чтобы доставить удовольствие математикам (это было бы уже слишком), но следует признать, что я до сих пор испытываю особую привязанность к аборигенам мурнгин.
Видя подобные примеры, сложно не согласиться с сонетом Микеланджело, в котором он говорит, что мраморная глыба уже содержит в себе произведение искусства, и задача художника — отсечь все лишнее:
Математик, подобно великому скульптору, высекает свои творения из необычайно твердого и прочного материала. Несовершенства материала столь сильно влияют на конечный результат, что наделяют его некоторого рода объективностью.
85
Глава 5 Под знаком Диофанта
Фурье считал, что главная цель математики есть принесение пользы обществу и объяснение явлений природы; тем не менее такой философ, как вы, должен знать, что единственной целью науки является честь человеческого разума, и с этой точки зрения вопрос о числе так же важен, как и вопрос о системе мира.