«Всеобщим уважением и почетным титулом образцовой „точной науки“ математика обязана ясности своих принципов, строгости своих доказательств и точности своих теорем. Для обеспечения непрестанного обновления столь ценных преимуществ этой изящной области знания необходима ясная и точная теория того, что называется в математике бесконечностью.
Хорошо известно, что современная геометрия (математика) систематически использует бесконечно большие и бесконечно малые величины. Однако геометры античности и даже древние аналитики всячески стремились избегать всего, что приближается к бесконечности, а некоторые знаменитые аналитики современности усматривают противоречивость в самом термине „бесконечная величина“. Учитывая сказанное, Академия желает получить объяснение, каким образом столь многие правильные теоремы были выведены из противоречивого предположения, вместе с формулировкой точного, ясного, истинно математического принципа, который был бы пригоден для замены принципа „бесконечного“ и в то же время не делал бы проводимые на его основе исследования чрезмерно сложными или длинными»[84].
Однако, как мы уже говорили, строгое решение поставленной Берлинской Академией задачи было найдено только в XIX в. Решающую роль здесь сыграли работы французского математика О. Коши. Метод, им предложенный, исключает обращение к актуально бесконечному.
Вот как определяет Коши вводимое им понятие предела: «Если значения, последовательно приписываемые одной и той же переменной, неограниченно (indefiniment) приближаются к фиксированному значению таким образом, чтобы в конце концов отличаться от него сколь угодно мало, то последнее называют пределом всех остальных»[85]. Бесконечно малая определяется здесь как переменная, последовательные значения которой становятся меньше любого данного положительного числа. Метод Коши оказался по своим теоретическим предпосылкам сходен с античным методом исчерпывания.
Философия Канта, с одной стороны, и созданная в XIX в. теория пределов, с другой, привели к тому, что понятие континуума, близкое к его античной трактовке, т. е. исключающее принцип актуальной бесконечности, на некоторое время получило преобладающее влияние в науке.
Однако не все математики и философы были удовлетворены таким решением проблемы. В конце XIX в. вместе с созданием теории множеств Георга Кантора полемика вокруг понятия континуума вспыхнула с новой силой. И сегодня это понятие по-прежнему вызывает споры среди математиков, естествоиспытателей и философов.
84
Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984. С. 175. Характерно, что победитель конкурса, швейцарский математик С. Люилье представил работу под девизом: «Бесконечность — пучина, в которой тонут наши мысли» (там же).