Всякий раз, когда вы видите перед собой ряд чисел, каждое из которых меньше, чем предыдущее, имеется возможность наличия сходящегося ряда. В таком ряде сумма чисел никогда не превосходит некоторое установленное значение — предел суммы — независимо от того, сколько чисел добавлено. Наиболее хорошо известный случай такого сходящегося ряда — это 1 + ½ + ¼ + 1/8 + 1/16, в котором каждое следующее число — половина предыдущего. Сумма первых двух чисел — 1,5; сумма первых трех чисел — 1,75; сумма первых четырех чисел — 1,875; сумма первых пяти чисел — 1,9325 и так далее. По мере добавления в ряд все большего количества чисел сумма становится все больше и приближается к 2, никогда не достигая его. Предел суммы этого своеобразного числового ряда равен 2.
Оказывается, что числа, представляющие собой приращения скорости, получаемые в результате падения тела со все большей высоты, действительно образуют сходящийся ряд. Поскольку тело падает со все большей и большей высоты, окончательная скорость соударения не увеличивается беспредельно; вместо этого она имеет тенденцию стремиться к некоторой предельной скорости, превзойти которую не может.
Эта предельная скорость соударения (v,) зависит от значения g и радиуса (r) тела, которое является источником поля тяготения. Важность величины радиуса опирается на тот факт, что чем больше его значение, тем медленнее «затухает» при увеличении расстояния значение g. Предположим, что тело имеет радиус 1000 километров. Находящееся на расстоянии 10 000 километров от его центра падающее тело в десять раз дальше от центра, чем объект, лежащий на его поверхности, и поэтому значение g там равно всего 1/100 значения на поверхности. Предположим далее, что тело имеет радиус 2000 километров, находящееся на расстоянии 10 000 километров от его центра падающее тело будет тогда только в пять раз дальше от центра, чем объект, находящийся на поверхности. И значение g соответственно будет равно только 1/25 значения на поверхности. Поэтому по мере прохождения высот значение g уменьшалось бы более быстро для маленького тела, чем для большого, и окончательная скорость соударения была бы меньше для маленького тела, несмотря на то что поверхностное значение его g может быть тем же самым, что и у большого тела.
Оказывается, что:
В системе МКС значение g равно 9,8 м/с2, что касается г, то оно равно 6 370 000 м, таким образом, 2gr равно приблизительно 124 800 000 м2/с2. При извлечении квадратного корня из этого числа мы должны также извлечь квадратный корень и из единиц измерения. Так как квадратный корень из a2b2 равен ab, должно быть ясно, что квадратный корень из м2/с2 равен м/с. Квадратный корень из 124 800 000 м2/с2 равен приблизительно 11 200 м/с. То есть предел скорости соударения равен 11,2 км/с (или примерно семь миль в секунду). Ни один объект, падая по направлению к Земле из состояния покоя, не может когда-либо удариться об нее со скоростью большей чем 11,2 км/с. (Конечно, если рассматриваемый объект представляет собой метеор или что-либо в этом роде, который летит с ускорением в направлении Земли, то его собственная скорость добавится к скорости, вызванной полем тяготения Земли, и он ударится о Землю со скоростью соударения большей чем 11,2 км/с.) Для Луны, на которой значения g и г гораздо меньше, максимальная скорость соударения будет равна только 2,4 км/с (или 1,5 мили в секунду).
Давайте теперь рассмотрим этот вопрос с другой точки зрения. Вместо падающего тела рассмотрим такое, которое перемешается вверх от поверхности Земли. Для тела, перемещающегося вверх, g представляет собой величину, на которую его скорость уменьшается в каждую секунду полета. В данном случае ситуация развивается с точностью до наоборот, то есть если тело, первоначально находившееся в состоянии покоя, падает с высоты h и в момент соударения достигает скорости v, то тело, брошенное вверх со скоростью v, перед тем как остановиться, достигнет высоты h (и начнет падать назад, по направлению к Земле).
22
Поскольку эта книга является «велением в физику, я не всегда буду давать деривацию используемых уравнения, так как это может вовлечь в разговор необъясненные концепции или математические методы, которые я предпочитаю не использовать.