Т.к. в течении многих лет моя жизнь проходила среди физиков, то вначале я не связывал физику над конечной математикой с какой-то философией, и думал, что конечная математика должна рассматриваться только с точки зрения приложений к физике. Первая идея применения конечной математики была такая. Рассмотрим квантовую электродинамику с симметрией де Ситтера и над конечной математикой. Тогда в базисе угловых моментов, неприводимые представления для электрона, позитрона и фотона будут конечными т.к. угловой момент не может превосходить характеристику конечного поля. Это приведет к естественной регуляризации вместо регуляризации Паули-Вилларса и теория автоматически не будет содержать расходимостей.
Однако, потом выяснилось, что такая наивная идея не проходит в связи со следующим. В теории над конечным полем или кольцом частица и ее античастица автоматически принадлежат одному и тому же представлению, и нет представлений для нейтральных частиц. Так что в таком подходе даже фотон не может быть элементарной частицей. Зная менталитет физиков, думаю, что большинство из них сразу скажут, что раз фотон – не элементарная частица, то теория нефизическая.
Выше я описывал пример, когда в стандартной теории (над комплексными числами) с алгеброй де Ситтера so(1,4) понятия частицы и античастицы кардинально меняются. Но в случае алгебры де Ситтера so(2,3) мы по-прежнему имеем представления с положительными и отрицательными энергиями, т.е. можно по-прежнему говорить о частицах и античастицах. Но в случае представлений над конечным кольцом или полем ситуация аналогична той, что получается для so(1,4) и здесь само понятие элементарной частицы кардинально меняется для любых представлений.
Например, раз частица и ее античастица принадлежат одному неприводимому представлению, то переходы частица↔античастица не запрещены, но вероятность таких переходов мала, если характеристика поля или кольца большая. Так что, строго говоря, сами понятия частицы и античастицы являются приближенными, и законы сохранения электрического заряда, барионного и лептонного квантовых чисел тоже приближенные. Эти законы хорошо работают потому что в настоящее время характеристика поля или кольца очень большая. Естественно предположить, что на ранних стадиях мира она была намного меньше. Тогда переходы частица↔античастица были намного более вероятными и это дает еще одно естественное объяснение так наз. барионной асимметрии мира.
В такой теории нет проблемы бесконечной энергии вакуума и связь между спином и статистикой имеет естественное объяснение. Здесь естественной элементарной частицей может быть Дираковский синглетон. Как показали Flato and Fronsdal, безмассовая частица (например, фотон) может быть построена из двух синглетонов. И еще один интересный момент, который ставит под сомнение существующее понятие элементарной частицы. Даже для симметрии де Ситтера без конечного кольца или поля (а с ними подавно) масса частицы – не размерная величина, а безразмерная. Если для оценки принять, что радиус мира – величина порядка 1026m, то даже масса электрона будет порядка 1039, т.е., громадная величина. Трудно поверить, что частица с такой массой является элементарной.
Все эти свойства физики над конечной математикой описаны в моих работах. Но я думаю, что рано или поздно фундаментальная квантовая физика будет над конечной математикой не только потому, что такая физика будет лучше, а и потому, что сама конечная математика более фундаментальна чем стандартная непрерывная математика. Как показано в моих работах, даже с чисто математической точки зрения, непрерывная математика – это частный вырожденный случай конечной в формальном пределе, когда характеристика поля или кольца в конечной математике стремится к бесконечности. Почему вырожденный? Как показано в моих работах, любой результат стандартной математики в квантовой теории может быть воспроизведен с любой точностью в конечной математике для всех p больших некоторого значения. С другой стороны, когда мы перешли к пределу p→∞, то все операции по модулю числа потеряны, и стандартная математика не может воспроизвести все результаты конечной математики. Она может воспроизвести только те результаты в которых все числа намного меньше p. Здесь есть аналогия с тем, что нерелятивистская теория является частным вырожденным случаем релятивистской в формальном пределе c→∞: релятивистская теория может воспроизвести все результаты нерелятивист нерелятивистской с любой заданной точностью при каком-то выборе c. С другой стороны, нерелятивисткая теория может воспроизвести только те результаты релятивисткой в которых все скорости намного меньше c.