Так что, когда переходим к пределу p→∞, ћ→0 и пренебрегаем размерами атомов, то стандартный смысл дифференциальных уравнений, π, е и т. д восстанавливаются.
11.5. Гравитация как кинематическое следствие конечности мира
В нерелятивистской классической механике, закон всемирного тяготения получается, если потенциальную энергию взаимодействия двух частиц с массами m1 и m2 выбрать в виде – Gm1m2/r, где r – расстояние между частицами, а G – гравитационная постоянная. В ОТО закон всемирного тяготения получается в частном случае когда есть две нерелятивистские частицы. В квантовой гравитации пытаются объяснить гравитацию как следствие обмена виртуальными гравитонами. Эта теория еще не закончена (и непонятно, будет ли когда-либо закончена) т.к. она неперенормируемая и, по крайней мере в существующих подходах, непонятно как в ней устранить расходимости.
Стандартная догма такая, что гравитация – четвертое взаимодействие, которое надо объединить с сильным, электромагнитным и слабым взаимодействием. Сильное взаимодействие – обмен виртуальными глюонами, электромагнитное – обмен виртуальными фотонами, слабое – обмен виртуальными W и Z бозонами, а гравитационное – обмен виртуальными гравитонами. Как описано в параграфе 9.2, считается, что наблюдение двойных пульсаров дает косвенное подтверждение существования гравитонов, а недавний эксперимент LIGO – прямое. Однако, как отмечено в этом параграфе, такие утверждения очень проблематичны.
Мой подход к гравитации основан на следующих принципах. Во-первых, как описано в параграфе 9.6, алгебра операторов более фундаментальна чем пространство. Во-вторых, как описано в параграфе 11.2, де Ситтер симметрия более фундаментальна чем Пуанкаре симметрия. Наконец, как описано в параграфе 11.4, фундаментальная квантовая теория должна строиться над конечной математикой.
Рассмотрим вначале теорию, основанную на обычной алгебре де Ситтера, т. е., без привлечения конечной математики. Пусть есть две свободные нерелятивистские частицы с массами m1 и m2. В Пуанкаре инвариантной теории масса такой двухчастичной системы равна (в системе единиц c=1)
M=m1 + m2 + q2/2m12
где q – относительный импульс, а m12=m1m2/(m1+m2) – приведенная масса. Поэтому масса двухчастичной системы зависит только от относительного импульса, но не от расстояния r между частицами и не может быть меньше чем m1 + m2. В частности, в таком подходе нельзя получить гравитационную поправку —Gm1m2/r к массе. В анти-де Ситтеровской симметрии масса двухчастичной системы тоже не может быть меньше чем m1 + m2 и гравитационную поправку к массе тоже получить нельзя.
Но в теории инвариантной относительно алгебры де Ситтера so(1,4)
M=m1 + m2 + q2/2m12+V(r,q)
где V(r,q) – некоторая функция, которая зависит от квантового состояния двухчастичной системы. В частности, нет закона, запрещающего такие состояния, что V(r,q)= – Gm1m2/r. В этом случае константа G не берется извне, а должна быть вычислена. Поэтому проблема заключается в том, чтобы понять почему для квазиклассических состояний такое соотношение имеет место.