Юго-восточная экспансия зашла очень далеко. Самый сильный импульс исходил от венецианского купечества, которое проникло в Индию через Суэцкий перешеек. Преуспел в этом и венецианский путешественник Марко Поло, добравшийся через Евразийскую степь до Пекина. Достигнув апогея, движение это потерпело крах. Почти все добытое в течение четырех веков было утрачено в 1475 г. [52]
Проведение поперечной оси из крайней северо-западной точки Англии пришлось на последующий век, который характеризовался процессами более устойчивыми и по всем показателям более продолжительными. Северная Америка обрела англоязычное население. От Северной Атлантики до южных окраин Тихого океана создавались общины английского происхождения, чтобы разделить богатства западной культуры с народами Индии и Дальнего Востока. Таково было влияние линии, проведенной в Лотарингии, но Лотарь и его братья не могли увидеть то будущее, которое является настоящим для нас, и если они сознавали, что эта линия имеет исключительное значение, но только исходя из опыта прошлого, свидетельствовавшего, что значение этой линии и ранее было очень большим, хотя и относилась она к другой геометрической фигуре.