Важливішим за питання стилю, хоч і пов’язаним із ним, є заохочувана математиками хибна мета: досягти достовірної істини за допомогою самого лише інтелекту. У дискусії про освіту філософів-царів у «Державі» Платон наводить аргумент Сократа, що астрономію слід вивчати так само, як і геометрію. Згідно із Сократом, дивитися в небо може бути корисно як поштовх для інтелекту так само, як дивитися на геометричну діаграму може бути корисно в математиці, але в обох випадках реальне знання приходить виключно через думку. Сократ у «Державі» пояснює, що «тими розмаїтими небесними узорами слід послуговуватися як прикладами у вивченні речей правдивих»7.
Математика є засобом, за допомогою якого ми виводимо наслідки фізичних принципів. Ба більше, це невід’ємна мова, якою виражені принципи фізичної науки. Вона часто навіює нові ідеї щодо природничих наук, а потреби науки, у свою чергу, часто просувають розвиток математики. Робота фізика-теоретика Едварда Віттена забезпечила такий великий прогрес у математиці, що 1990 року він був нагороджений однією з найвищих нагород у галузі математики – медаллю Філдса. Але математика не є природничою наукою. Сама по собі математика без спостереження нічого не може розповісти нам про світ. А спостереженням за світом математичні теореми не можна ані підтвердити, ані спростувати.
У Стародавньому світі й навіть на початку нашого часу цього не знали. Ми вже бачили, що Платон та піфагорійці вважали такі математичні об’єкти, як числа чи трикутники, основними складниками природи, а нижче побачимо, що деякі філософи уявляли собі математичну астрономію галуззю математики, а не природничих наук.
Сьогодні відмінність між математикою та природничими науками встановлена доволі чітко. Для нас залишається загадкою, чому математика, винайдена з причин, ніяк не пов’язаних із природою, часто виявляється корисною у фізичних теоріях. У своїй відомій статті8 фізик Юджин Віґнер писав про «незбагненну ефективність математики». Але загалом ми без проблем відрізняємо ідеї математики від принципів природничих наук, принципів, що врешті обґрунтовуються спостереженнями за світом.
Сьогодні конфлікти між математиками та натуралістами іноді виникають загалом через проблему математичної чіткості. З початку XIX століття дослідники в галузі математики вважали чіткість необхідною: визначення та припущення мають бути чіткі, а висновки потрібно робити цілком впевнено. Натомість фізики більш опортуністичні й вимагають лише достатньо точності та впевненості, щоб мати вірогідність уникнути серйозних помилок. У передмові власного дослідження квантової теорії полів я визнаю, що «в цій роботі є частини, що змусять плакати читача із математичним складом розуму».
Це створює проблеми у спілкуванні. Математики розповідали мені, що вони часто знаходять літературу з фізики обурливо розпливчастою. Своєю чергою, фізики, що потребують передових математичних інструментів, такі, як я сам, часто виявляють, що прагнення математиків до чіткості ускладнює їхні роботи, але малоцікаве з фізичного погляду.
Математично налаштовані фізики зробили благородну спробу поставити формалізм сучасної фізики елементарних частинок – квантової теорії полів – на математично чітку основу, у чому досягли деякого цікавого прогресу. Але за минулі півстоліття ніщо в розвитку Стандартної моделі елементарних частинок не залежало від досягнення вищого рівня математичної чіткості.
Після Евкліда давньогрецька математика продовжила процвітати. У розділі 4 ми розглянемо видатні досягнення більш пізніх елліністичних математиків Архімеда та Аполлонія.
3. Рух та філософія
Після Платона стиль роздумів давніх греків про природу став менш поетичним і більш аргументованим. Ця зміна помітна насамперед у роботах Арістотеля. Він народився у 384 році до н. е. в місті Стагіра в Македонії, тобто не був уродженцем Афін чи навіть іонійцем. У 367 році до н. е. він перебрався до Афін, щоб навчатися у Платоновій школі – Академії. Після смерті Платона в 347 році до н. е. Арістотель залишив Афіни й деякий час жив на острові Лесбос в Егейському морі та в прибережному містечку Ассос. 343 року до н. е. цар Філіп II покликав Арістотеля назад до Македонії, запропонувавши стати наставником його сина, якого ми знаємо як Александра Великого.