Ще більш вражаючими були досягнення Архімеда в математиці. За допомогою техніки, що передувала інтегральним численням, він зумів обчислити площі та об’єми різноманітних пласких фігур і твердих тіл. Наприклад, площа круга дорівнює добутку половини довжини його кола на радіус (див. технічну примітку 10). За допомогою геометричних методів він зумів показати, що те, що ми називаємо числом π (Архімед такого терміна не використовував), тобто співвідношення довжини кола до його діаметра, лежить між
Відома оповідка про смерть Архімеда, як її виклав римський історик Тит Лівій. Архімед помер у 212 році до н. е. під час розграбування Сиракуз римськими вояками під орудою Марка Клавдія Марцелла (перед тим під час другої Пунічної війни Сиракузи були захоплені прихильниками Карфагену). Коли римляни бігали в пошуках наживи вулицями Сиракуз, один солдат нібито знайшов Архімеда за розв’язанням проблем геометрії й убив його.
Окрім незрівнянного Архімеда, найвидатнішим елліністичним математиком був його молодший сучасник Аполлоній Перзький. Аполлоній народився приблизно в 262 році до н. е. в місті Перга (Перге) на південно-східному узбережжі Малої Азії, яке тоді перебувало під владою царства Пергамон, що саме набирало сили. Однак за часів Птолемея III та Птолемея IV, що правили загалом з 247 до 203 року до н. е., він відвідував Александрію. Його видатна робота була присвячена конічним перетинам: еліпсу, параболі та гіперболі. Це криві, що можуть утворюватися внаслідок розрізання конуса площиною під різними кутами. Значно пізніше теорія конічних перетинів стала надзвичайно важливою для Кеплера та Ньютона, але у Стародавньому світі фізичного застосування вона не знайшла.
То була блискуча робота, але, попри її акцент на геометрії, поза увагою давньогрецьких математиків залишалися методи, що є невіддільним складником сучасної фізичної науки. Давні греки ніколи не вміли писати й застосовувати алгебраїчні формули, натомість рівняння на кшталт E = mc2 та F = ma є основою сучасної фізики. (Формули використовував у суто математичній роботі Діофант, який жив в Александрії близько 250 року н. е., але символи в його рівняннях позначали лише цілі або раціональні числа, що аж ніяк не схоже на символи у фізичних формулах.) Навіть там, де геометрія важлива, сучасний фізик намагається вивести те, що потрібно, виражаючи геометричні факти алгебраїчно, за допомогою методів аналітичної геометрії, які винайшли в XVII столітті Рене Декарт та інші науковці і які описані в розділі 13. Імовірно, через заслужений престиж давньогрецької математики геометричний стиль протримався аж до наукової революції XVII століття. Коли Ґалілей у своєму памфлеті 1623 року «Пробірник» захотів оспівати математику, то сказав про геометрію так[7]: «Філософія записана у всеосяжній книзі, постійно відкритій нашим очам, якою є Всесвіт; але її не зрозуміти, якщо спочатку не навчитися розуміти її мову й розумітися на знаках, якими вона написана. Написана вона математичною мовою, а її знаками є трикутники, кола та інші геометричні фігури; без них людина просто не зможе зрозуміти в ній ані слова і блукатиме в темному лабіринті». Ґалілей дещо відстав від часу, підносячи геометрію вище за алгебру. Його роботи містять трохи алгебри, але є більш геометричними за твори деяких його сучасників і значно більш геометричними за ті, що сьогодні можна знайти у фізичних журналах.
У наш час з’явилося місце й суто для науки – науки, яку вивчають заради неї самої, безвідносно до практичного застосування. Натомість у Стародавньому світі, перш ніж учені зрозуміли необхідність підтверджувати свої теорії, вкрай важливо було технічно застосувати науку, бо, коли людина готова використовувати якусь наукову теорію, а не просто говорити про неї, її правильність може дати чималу вигоду. Якби за допомогою своїх обчислень густини Архімед визначив, що позолочена свинцева корона зроблена з чистого золота, він втратив би свою популярність у Сиракузах.
Не хочу перебільшувати міру, до якої обґрунтована наукою техніка була важлива в елліністичні або римські часи. Багато винаходів Ктезібія та Герона, схоже, були не більше, ніж іграшки або театральний реквізит. Історики вважають, що в економіці, яка ґрунтується на рабстві, не було попиту на працеощадні пристрої, які могли вийти, наприклад, з іграшкового парового двигуна Герона. У Стародавньому світі були важливі військова та цивільна інженерія, тому різні правителі підтримували в Александрії вивчення катапульт та інших подібних знарядь (імовірно, у Мусейоні). Але ця робота, схоже, небагато взяла від тогочасної науки.