1. «У час півмісяця відстань Місяця від Сонця на одну тридцяту менша за квадрант». (Тобто, коли Місяць лише наполовину повний, кут між прямими від Землі до Місяця й до Сонця на 3° менший за 90° і становить 87°.)
2. Під час сонячного затемнення Місяць просто закриває собою видимий диск Сонця.
3. «Ширина земної тіні дорівнює подвійній ширині тіні Місяця». (Найпростішою інтерпретацією цього є те, що, якби на місці Місяця була сфера із вдвічі більшим діаметром, вона просто заповнила б земну тінь під час місячного затемнення. Імовірно, це виявили, вимірявши час від того моменту, як один край Місяця почне затемнюватися земною тінню, до повного затемнення – часу, упродовж якого відбувається повне затемнення, а також часу відтоді до повного завершення затемнення.)
4. «Місяць перекриває одну п’ятнадцяту частину зодіаку». (Весь зодіак – це повне коло у 360°, але Арістарх тут, безумовно, має на увазі один знак зодіаку; зодіак складається із 12 сузір’їв, тож один знак займає кут у 360°/12 = 30°, а 1/15 цього становить 2°.)
На підставі цих припущень Арістарх вивів, що:
1. Відстань від Землі до Сонця у 19–20 разів більша за відстань від Землі до Місяця.
2. Діаметр Сонця у 19–20 разів більший за діаметр Місяця.
3. Діаметр Землі у 108⁄43–60⁄19 разів більший за діаметр Місяця.
4. Відстань від Землі до Місяця у 30–45⁄2 разів більша за діаметр Місяця.
Коли Арістарх здійснював розрахунки, тригонометрія ще була невідома, тому йому, щоб отримати ці верхню та нижню межі, довелося застосувати складні геометричні побудови. Сьогодні за допомогою тригонометрії ми отримали б точніші результати; наприклад, зробили би з пункту 1 висновок, що відстань від Землі до Сонця більша за відстань від Землі до Місяця на секанс (що дорівнює зворотному косинусу) 87°, тобто 19,1, що справді лежить між 19 та 20. (Цей та інші висновки Арістарха виведені заново сучасним методом у технічній примітці 11.)
На підставі цих висновків Арістарх зміг вирахувати розміри Сонця, Місяця та відстані до них від Землі відносно діаметра Землі. Зокрема, поєднавши пункти 2 і 3, Арістарх дійшов висновку, що діаметр Сонця у 361⁄60–215⁄27 разів більший за діаметр Землі.
Міркування Арістарха були математично бездоганні, але його результати були кількісно далекі від істини, бо положення 1 і 4, які він використовував як вихідні дані, були геть помилкові. Коли Місяць наполовину повний, то справжній кут між прямими від Землі до Сонця й до Місяця становить не 87°, а 89,853°, що робить Сонце у 390 разів дальшим від Землі, ніж Місяць, а отже, значно більшим, ніж вважав Арістарх. Такі астрономічні вимірювання неможливо було зробити неозброєним оком, хоч Арістарх зумів правильно підмітити, що коли Місяць наполовину повний, то кут між прямими від Землі до Сонця й до Місяця не менший за 87°. Крім того, видимий диск Місяця перекриває кут 0,519°, а не 2°, що робить відстань від Землі до Місяця близькою до 111 діаметрів Місяця. Арістарх точно міг досягти кращих результатів, і у творі Архімеда «Про підрахунок піщинок» є натяк, що у пізнішій роботі він так і зробив[15].
Однак відмінність між підходами Арістарха та сучасною наукою визначено не помилками в його спостереженнях. Періодичні серйозні помилки продовжують заважати розвитку спостережної астрономії та експериментальної фізики. Наприклад, у 1930-х роках швидкість, з якою розширюється Всесвіт, вважали приблизно в сім разів більшою, ніж, як ми сьогодні знаємо, вона є насправді. Справжня відмінність між Арістархом і сучасними астрономами та фізиками не в тому, що дані його спостережень були помилкові, а в тому, що він ніколи не намагався оцінити їхню похибку та й узагалі не визнавав, що вони можуть бути недосконалі.
Сьогодні фізики та астрономи знають, що до експериментальної похибки потрібно ставитися дуже серйозно. Навіть попри те, що на старших курсах я знав, що хочу стати фізиком-теоретиком, який ніколи не проводитиме експерименти, від мене вимагали пройти лабораторний курс разом з усіма іншими студентами фізфаку Корнельського університету. І більшість часу на цьому курсі ми витрачали, щоб оцінити похибку наших обчислень. Однак історично така увага до похибки з’явилася порівняно нещодавно. Наскільки мені відомо, у стародавні або середньовічні часи ніхто й не намагався серйозно оцінити похибку вимірювань. Як ми побачимо в розділі 14, експериментальними похибками іноді нехтував сам Ньютон.
У роботі Арістарха відчувається згубний вплив надмірного престижу математики. Його твір читають як «Начала» Евкліда: дані в пунктах 1–4 Арістарх визнав за постулати, з яких із математичною чіткістю вивів свої результати. Але помилка спостереження в його результатах була значно більша за чіткі межі, які він демонстрував для різноманітних розмірів та відстаней. Можливо, Арістарх не хотів сказати, що кут між прямими до Сонця й до Місяця, коли останній наполовину повний, справді становить 87°, а лише брав це за приклад, щоб проілюструвати, що з цього можна вивести. Недарма сучасники називали Арістарха Математиком, тоді як його вчителя Стратона – Фізиком.