443
Занимаясь своим «барицентрическим исчислением», изобретенным им в 1827 году, математик Мебиус приводил подобные же рассуждения, как у Канта, но конечно, совсем в другом смысле. Он замечает, что линия abc, как симметрическое отражение в зеркале SS линии а'b'с', составляет с ней одну прямую линию I; если первая двигается на этой прямой, то она никогда не совпадает со второй; чтобы они покрывали друг друга, нужно линию abc вывести из области прямой I и повернуть, для чего нужны, по меньшей мере, два измерения, т. е. нужна плоскость. То же самое можно сказать о неравностороннем треугольнике abc и его отражении а'b'с', которые лежат в одной и той же плоскости II. Движением в этой плоскости никогда нельзя добиться того, что-
444
бы они совпали, а для этого нужно сначала один из них перевернуть, т. е. для этого нужно уже третье измерение пространства. Если над обоими симметрическими треугольниками abc и а'b'с', как основаниями, воздвигнуть две пирамиды с вершинами s и s', то эти пирамиды abcs и a'b'c's' симметричны и они никогда не могут совпадать в пространстве. Но, полагает Мебиус, это было бы возможно, если бы в нашем распоряжении было четвертое измерение пространства. 40 лет спустя стали работать над вопросом о пространстве последователи Гаусса — Лобачевский, Я. Бояи и Риман, и эти работы оказались весьма плодотворными для математики с точки зрения теории познания. Мебиус со своим здравым умом вряд ли был бы очень доволен, если бы приняли серьезно эту мысль его, которую он рассматривал только, как научную остроту. Ему было известно превращение геометрического тела в симметрическое и без помощи четвертого измерения: для этого нужно вывернуть поверхность тела наизнанку. Перчатка с правой руки, отраженная в зеркале, представляется перчаткой с левой руки (IV), но она и превращается в таковую, если ее вывернуть наизнанку. То же самое может быть сделано и с пирамидой. И треугольник abc мы можем разделить у точки с и стороны ас, bc снова сложить на другой стороне от стороны ab. Даже линию abc в I мы можем рассматривать, как тонкую нить в тонкой трубке аа'. Переворачивание может быть совершено, если, взявшись за точку а, извлечь нить в направлении са. Во всех этих превращениях и переворачиваниях дело сводится к тому, что одно измерение превращается в другое, ему противоположное, как в зеркальных отражениях. В III это наглядно показано на простейшем примере. Справа от SS изображено полое тело, образованное тремя квадратами; мы смотрим на это тело справа. Если оба квадрата, зачерченные диагональными линиями и линиями, параллельными одной из сторон, повернуть в сторону, противоположную от белого квадрата, то получается симметричное тело, изображенное слева. Эти два тела не могут покрывать друг друга так, чтобы соответственные одинаково зачерченные части покрывали друг друга.
Современная геометрия пространства любого числа измерений оказалась весьма плодотворной для самой математики. Так называемая метагеометрия имеет, впрочем, и много горячих противников, в особенности в среде физиков. И действительно, в физике все эти исследования не имеют объекта, покуда эта наука занимается тем, что поддается чувственному доказательству, и только этим. Здесь нет ничего, что имело бы одно, два или четыре измерения, а есть только вещи трех измерений. Лейбниц,
445
действительно, создал все свои мастерские геометрические определения, исходя из тела трех измерений. Всякий физический объект, даже самый мелкий, всякий элемент объема, всякое тело, имеет три измерения. Поверхности, линии, точки суть только математические фикции. Лучший аргумент, приведенный против произвольного увеличения или уменьшения числа измерений, есть по-видимому, то, что три измерения не независимы друг от друга (К. Гейсслер).