"Когда я подошел к двери второго номера, то первая цифра соответствующего варианта меня не интересовала, ведь первая цифра моего варианта была уже написана. Поэтому все внимание было обращено на вторую цифру. Увидев, что эта цифра 1, я записал в своем блокноте цифру 0. Точно так же, обнаружив, что третья цифра варианта, прибитого к двери третьего номера, тоже 1, я записал в блокноте цифру 0. Вообще, если я обнаруживал, что n-я цифра n-го варианта есть 0, то писал в своем блокноте на n-ом месте цифру 1, если же n-я цифра n-го варианта была 1, то я писал у себя 0. Когда я обошел все номера гостиницы, то в блокноте оказалась записанной последовательность нулей и единиц" [3, с.70-71].
Методика понятна и разумна, но верные ли выводы из неё делает рассказчик?
"– Вот, полюбуйтесь на пропущенный вариант.
– А откуда известно, что он пропущен?
– Он не может быть первым, так как отличается от него первой цифрой, не может быть вторым, так как отличается от него второй цифрой, третьим, так как отличается от него третьей цифрой, и вообще n-м, так как отличается от него n-й цифрой" [там же].
Как видим, метод полностью совпадает с рассмотренным выше, поэтому также ведет к неверному выводу. В его списке номер начинается, например, с цифры 0. Но это всего-навсего первый разряд бинарного числа бесконечной длины. Можно уверенно заявить, что вся монотонная бесконечная последовательность нулей и единиц в точности содержит половину начинающихся с нуля. Например, пятизначное двоичное число:
содержит всего 32 числа, первые 16 из которых начинаются с нуля. Следовательно, если номер первой комнаты начинается с нуля, то номер второй комнаты тоже будет начинаться с нуля. И так на бесконечном количестве дверей. Поэтому в блокноте вторая цифра, как и первая, так же будет единицей. И третья. И четвертая. И так до бесконечности. Счетной.
Но как же так?! Получается, что все комнаты будут иметь один и тот же нулевой номер?! Нет, разумеется. Просто длина последовательности нулей и единиц такова, что прочитать последнюю цифру рассказчику не удастся никогда. Вернее, за бесконечное (счетное) количество времени.
"… стало ясно, что какое бы счетное множество вариантов ни взять, всегда найдется вариант, не вошедший в это множество… А это и значит, что множество всех вариантов заполнения гостиницы несчетно…" [3, с.70-71].
Как видим, вывод о несчетности вариантов явно ошибочен. Похоже, что этого не заметили и программисты или математики в тресте космических гостиниц, которые обязаны были предостеречь руководство от такого тривиального, бессмысленного задания. Бесконечное (счетное) число вариантов бинарных чисел даёт весь натуральный бинарный ряд чисел. Без пропусков и повторов. Каждый дежурный по этажу должен был составить список всех вариантов (то есть, номеров комнат) из бесконечной последовательности бинарных чисел. Неважно, что дежурных много, а гостиниц – вообще бесконечное (счетное) количество. Каждый из дежурных предоставит в точности один и тот же список вариантов (номеров).
По поводу "отсутствующего" номера комнаты добавим – этот номер в списке есть, но находится среди номеров второй половины бесконечного их количества. Заметим, что при таком способе "нахождения" не проходит и хитрость с отбрасыванием ведущих нулей, то есть:
поскольку в этом случае у второй комнаты в номере отсутствует вторая цифра, у третьей – третья, у четвертой – четвертая и так далее.
Разрядность и количество чисел в массиве
Легко показать, что причина ошибки заключается в том, что при поиске отсутствующего числа по непонятной причине количество разрядов чисел (записей в блокноте) приравнивалось общему количеству всех чисел. В сущности, это очевидное и даже тривиальное некорректное допущение, и почему оно оказалось незамеченным, непонятно. Действительно, общее количество чисел, их основание и разрядность связаны простым соотношением
где
k – количество чисел разрядности n и основанием m;