Это означает, что при бесконечном количестве комнат счётчик может просмотреть хотя и бесконечное их количество, но в общем количестве комнат это просмотренное количество эквивалентно нулю.
Получается, что доля просмотренных героем рассказа чисел от общего их количества равна нулю, поэтому нет ничего удивительного, что любое найденное им число обязательно будет присутствовать в их полном наборе. Собственно говоря, это тривиальный, очевидный факт: всё бесконечное множество чисел бесконечной разрядности содержит все возможные числа, то есть, это тождественно весь натуральный ряд чисел, поэтому "отсутствующих" чисел в нём быть не может просто по определению.
Такой же результат будет получен, если рассматривать не разрядность, а общее количество чисел.
Следовательно, каким бы большим ни был найденный им номер комнаты, якобы не получившей порядкового номера, номера всех комнат используют все без исключения числа от нуля до бесконечности, то есть, содержать все возможные порядковые номера, среди которых обязательно присутствует и "пропущенный" номер.
Таким образом, вывод о несчетности вариантов, номеров комнат является ошибочным. Похоже, что и в управлении космических гостиниц тоже не нашлось грамотного программиста или математика, которые могли бы объяснить директору ошибочность вывода о неполноте списка, и что пари выиграл именно он, директор.
Счетность всех мыслимых видов чисел
Теперь еще раз обратимся к утверждению о несчетности континуума. Действительные числа являются лишь частью ряда возможных чисел, включающих в себя вещественные, комплексные, кватернионы, гиперкомплексные, поличисла (коммутативно-ассоциативные гиперкомплексные числа), разнообразные многомерные и любые иные виды чисел. Здесь нас не должны интересовать алгебры этих чисел и их свойства. Единственное не обязательное условие – это конечная длина записи числа. То есть, запись числа в виде бесконечного ряда коэффициентов мы пока оставим без внимания, указав, что задача решается так же – предельным переходом.
Все мыслимые числа в общем виде можно записать, например, в следующем виде
где
α – любое вещественное число;
С – любой индекс, например, мнимая единица i.
Например, число может иметь вид a = 2,71828… –действительное число, или a = 3+2i – комплексное число, или a = 5+2i+3j+8k – кватернион. Правильно организованный способ подсчета этих чисел позволяет показать счетность всего их ряда. Вообще-то, такой результат является простым следствием принятого способа подсчета. На классический вопрос "сколько будет дважды два?" известен шутливый ответ: а сколько надо? По большому счету, всё сводится к спору о том, какой способ подсчета лучше или правильнее. Рассмотрим следующий способ записи всех действительных чисел: запишем после запятой все последовательные натуральные числа "задом наперед", а до запятой – в каждом ряду возрастающие натуральные числа на всём числовом диапазоне. Возникает, например, такой фрагмент последовательности действительных чисел:
Последовательность чисел в таблице будет содержать все без исключения числа. Собственно правило формирования чисел имеет простое аналитическое выражение, подобное (3) или (6). Возьмем два натуральных числа m и n, изменяющиеся от 0 до бесконечности. Запишем с их помощью некоторое число в виде
Здесь запись {0,m} означает число, меньшее единицы, дробной частью которого является натуральное число m. Фактически при табличной записи чисел n является номером строки в таблице, а m – номером колонки. Например, в ячейке (n=3; m=5) будет находиться число:
а в ячейке (n=10; m=2021) будет находиться число
Для составления таблицы начнем перебирать, подсчитывать все получившиеся числа. Строки чисел будут иметь вид:
Знаки плюс в таблице означают не суммирование, а используются как разделитель между числами. В связи с повторами, поскольку числа вида 0,1+0,10+0,100+0,1000 в использованном алгоритме считаются разными, общее количество чисел, видимо, окажется больше примерно на 10%. Конечно, мы можем повторяющиеся числа пропускать, не считать, но 10% погоды не делают. Если изобразить расположение чисел на графике, то график будет иметь вид пилы.
Для большей общности можно добавить еще одно условие: четные числа n будем делить на 2 и полученное число записывать согласно выбранному виду. Для следующего нечетного числа n запишем то же самое число, только со знаком минус. Очевидно, что в такой ряд легко включить и все вещественные и действительные, комплексные числа и даже кватернионы. Нумерация сформированных чисел соответствует нумерации членов любого числового ряда, то есть, каждое число из таблицы получит свой индивидуальный натуральный порядковый номер, будет пронумеровано при подсчёте. Каким бы ни было количество всех действительных чисел, наше движение по ряду не пропустит ни одного из них, и каждое из них получит свой индивидуальный натуральный номер. Таким образом, можно сделать вывод: континуум является счетным. Используя обратный метод индексации Кантора [3, с.77], мы можем корректно включить в этот континуум все мыслимые виды чисел. Как известно, метод Кантора формирует новое число из двух следующим образом: