Мы оставляем пока не решенными все эти проблемы. При избрании способа и порядка обсуждения природы времени мы руководимся лишь, вопервых, общей презумпцией о близости между числом и временем (которая не опровергнута, а разве лишь дополнена теорией Бергсона), и, во–вторых, презумпцией в пользу первенства числа. В силу этого мы считаем себя вправе начать с обсуждения проблемы числа; выводы наши должны показать, в какой мере наши презумпции были правильны.
1. Одно можно считать в настоящее время достаточно уясненным и едва ли не общепризнанным в сложном и спорном вопросе о природе числа: это — сознание основополагающего значения числа как одной из высших и общиалогических категорий. Это усмотрение основополагающего логического характера числа само собой ведет к уяснению несостоятельности всех теорий числа, для которых число есть некоторый частный объект знания, некоторая конкретная реальность. Усматривается ли эта реальность в самих вещах «внешнего мира», т. е. понимается ли число, как реальное качество или свойство, познаваемое из опыта (как это имеет место у Милля), или эта реальность переносится в область «психического» и число признается результатом некоторых особенностей психического процесса мышления, — все такого рода эмпиристические и психологистические теории идут вразрез с подлинной логической или категориальной природой числа, в силу которой все мыслимое ео ipso подчинено уже числу; таким образом, отыскание числа в какой‑либо частной области конкретного бытия необходимо содержит ложный круг. Принципиальное опровержение такого рода теорий в связи с уяснением природы числа как идеального начала составляет заслугу замечательной книги Фреге об основаниях арифметики[161].· Число не может быть опытно воспринимаемым свойством вещей, ибо оно относится ко всему мыслимому без исключения и независимо от всякого восприятия. На этом же основании оно не может быть и свойством психического процесса; и все попытки психологического выведения числа уже предполагают его и в конечном итоге сводятся к высмеянному Расселом типу определения: «число 10 есть результат десяти актов внимания».[162] Однако именно это усмотрение основополагающего логического характера числа, показавшее несостоятельность наивных эмпиристических и психологических теорий числа, приводит к весьма существенной трудности при построении положительной теории числа. Если уяснить себе до конца, что число есть некоторая первичная категория, с самого начала присутствующая во всяком содержании знания, что, например, уже момент общего предполагает единство и множественность (как это было ясно уже Платону), или что уже в различии одного понятия от другого — различии, без которого не может, по–видимому, обойтись ни одна мысль — уже молчаливо присутствуют понятия «одного» и «двух», то возникает вопрос: как вообще возможна теория числа, которая не заключала бы в себе круга?
И действительно, самые выдающиеся и ценные своей логической чистотой теории числа не избегли опасности такого круга. Мы имеем здесь прежде всего тип теории, впервые выставленный Фреге и в существенных чертах воспроизведенный Расселом и Кутюра. Этот тип теории исходит из мысли, что основой числа является понятие «совокупности» или «класса», и выводит числовые понятия из отношений между членами классов. У Рассела и Кутюра теория эта стоит в связи с современным «учением о множествах» (Mengenlehre), основанным Георгом Кантором. Ценность учения о множествах для общей теории числа в настоящее время, конечно, не подлежит сомнению: она содержит плодотворное расширение математического горизонта и показывает, что ряд конечных чисел есть только частный случай «хорошо упорядоченного множества» вообще. Казалось бы, здесь открывается возможность выведения понятия числа: ибо если «множество вообще» предшествует конечному числу, то последнее может быть выведено из него с помощью некоторых дополнительных понятий («порядка», «однозначного приурочения» и т. п.). Здесь, однако, обнаруживается коренное различие между математической и чисто логической или философской теорией числа: то, что вполне законно с чисто математической точки зрения, т. е. для развития систематического соотношения между разными числовыми формами, оказывается логически–порочным, если брать его как философскую теорию числа, т. е. как логическое выведение понятия числа. Математик, подобно всякому исследователю частной сферы, сосредоточивается лишь на понятиях, образующих частный предмет его исследования, и не обращает внимания на общие логические предпосылки, лежащие в основе всяких понятий вообще. Поэтому, чисто математически можно справедливо сказать, что, например, расселево определение единицы, как «класса классов, не равных нулю и таких, что, еслих есть и и у есть и, тол: тождественно с у, каковы бы ни были значениях иу», не опирается на понятие «двух», и тем самым на предполагаемое им понятие одного, ибо эти понятия действительно не заключены в содержании данного суждения. Тем не менее столь же бесспорна та простая мысль, что нельзя говорить об χ иу, не предполагая уже логического понятия «двух», ибо это понятие использовано нами, заключено в логической форме суждения об л; и у. И соответствующая критика рассматриваемой теории у Наторпа и Пуанкаре [163] неопровержима. Вообще говоря: если общее понятие «множества» по своему содержанию логически предшествует понятию числа, то, t другой стороны, в качестве родового понятия, т. е. единства системы понятий вообще, оно уже неизбежно является определенным множеством и тем самым предполагает число. Не только старая, «аристотелевская» логика, но и новейшая логистика уже опирается в этом смысле на арифметические категории и потому бессильна их обосновать.
161
Frege. Die Grundlagen der Arithmetik. 1884. Эта книга — один из редких образцов подлинно–философского творчества специалиста математика — замечательна с исторической точки зрения тем, что уничтожающая критика психологизма высказана в ней задолго до того, как соответствующая оценка психологизма в логике получила влияние в философской литературе; этим определяется особое значение этой книги в истории новейшей философии.
163