Fn = 22ⁿ+1.
Первые пять чисел Ферма таковы:
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537.
Отсюда можно высказать предположение:
десятичная запись всех чисел Ферма, за исключением F0 и F1 оканчивается цифрой 7.
Докажем с помощью сравнений, что это действительно так. Очевидно, что оно равносильно утверждению, что числа
22ⁿ, n = 2, 3…
оканчиваются цифрой 6. Это можно доказать по индукции. Заметим, что
22² = 16 ≡ 6 (mod 10),
22³ = 256 ≡ 6 (mod 10),
22ˆ4 = 65536 ≡ 6 (mod 10),
Более того, если мы возводим в квадрат число 22ˆk, то результатом будет число
Предположим, что для некоторого значения t
;
возводя в квадрат это сравнение, мы находим, что
,
что и требовалось.
§ 5. Теорема Ферма
Из алгебры мы знаем правила возведения бинома в степень:
(x + у)1 = х + у,
(х + у)2 = x2 + 2xy + y2,
(x + y)3 = х3 + Зx2y + Зху2 + у3,
(x + у)4 = х4 + 4х3у + 6х2у2 + 4ху3 + у4 (7.5.1)
и вообще
(х + у)p = хр + Cp1xp-1y + Ср2хр-2y2 +… + ур. (7.5.2)
Здесь первый и последний коэффициенты равны единице. Средними биномиальными коэффициентами являются
Cp1 = p/1, Ср2 = p(p-1)/(1 2), Ср3 = p(p-1)(p-2)/(1 • 2 • 3)… (7.5.3)
и вообще
Срr = p(p-1)(p-2)… (p — r + 1)/(1 2… r), (7.5.4)
Так как эти коэффициенты получаются в результате последовательного умножения на бином (х + у), то ясно, что они являются целыми числами.
С этого момента будем считать, что р — простое число. Чтобы записать эти коэффициенты в целочисленном виде, необходимо сократить все общие множители знаменателя
1 • 2 • 3 •… • r
и числителя
p(p-1)(p-2)… (p — r + 1)
Однако знаменатель не содержит простого множителя р, поэтому после сокращения число р останется множителем в числителе. Мы делаем вывод.
Все биномиальные коэффициенты (кроме первого и последнего) в выражении (7.5.2) делятся на р, если р — простое число.
Пусть теперь х и у в выражении (7.5.2) будут целыми числами. Если мы рассмотрим формулу (7.5.2) как сравнение по модулю р, то можно сделать вывод, что для любых целых чисел х и у и простого р
(х + у)p ≡ хр + ур (mod p). (7.5.5)
В качестве примера возьмем р = 5:
(х + у)5 = х5 + 5х4у + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + у5.
Так как все средние коэффициенты делятся на 5, то
(х + у)5 ≡ х5 + у5 (mod 5)
в соответствии с (7.5.5).
Из сравнения (7.5.5) можно сделать важные выводы. Применим его для случая х = у = 1. Получаем
2p = (1 + 1)p ≡ 1p + 1p = 2 (mod p).
Возьмем затем х = 2, у = 1 и найдем, что
3p = (2 + 1)p ≡ 2p + 1p;
теперь, используя предыдущий результат, 2p ≡ 2 (mod p), получаем
2p + 1p ≡ 2 + 1 ≡ (mod p).
Итак, 3p ≡ 3 (mod p). Далее для х = 3, у = 1 получаем
4p ≡ 4 (mod p).
Используя этот процесс, можно доказать по индукции, что аp ≡ a (mod p) для всех значений числа
а = 0, 1…. р -1. (7.5.6)
Случаи a = 0 и а = 1 очевидны. Так как каждое число сравнимо (mod р) с одним из остатков, записанных в (7.5.6), мы делаем вывод:
для любого целого числа а и любого простого числа р
ap ≡ a (mod p). (7.5.7)
Это утверждение обычно называют теоремой Ферма, хотя некоторые авторы называют ее малой теоремой Ферма, чтобы отличить от последней теоремы Ферма, или гипотезы Ферма, о которой мы упоминали в § 3 главы 5.
Пример. Для р = 13 и а = 2 мы находим: 13 = 8+ 4 + 1, т. е. 213 = 28+4+1 = 28 24 • 21. Так как 24 = 16 ≡ 3 (mod 13), 28 ≡ 9(mod 13), то
213 = 28 • 24 • 2 ≡ 9 • 3 • 2 ≡ 2 (mod 13),
как и утверждает теорема Ферма.
В соответствии с правилом сокращения для сравнений, сформулированном в конце § 3, мы можем сократить общий множитель а в обеих частях записи теоремы Ферма (7.5.7) при условии, что число а взаимно просто с числом р, являющимся модулем сравнения. Это дает следующий результат: