Целый ряд задач о треугольниках Пифагора может быть решен при помощи наших формул (5.2.7)
х = 2mn, у = m2 — n2, z = m2 + n2.
Например, можно искать треугольники Пифагора с заданной площадью А. Если такой треугольник является простейшим, то его площадь равна
А = 1/2 ху = mn (m — n) (m + n). (5.3.8)
Здесь три из четырех множителей нечетны. Нетрудно видеть, что они попарно взаимно простые. Поэтому, чтобы найти все возможные значения чисел m и n, можно выделить из числа А два взаимно простых нечетных множителя k и k (k > l), положив
m + n = k, m — n = l,
что дает
m = 1/2 (k + l), n = 1/2 (k — l).
После этого мы проверяем, удовлетворяют ли эти числа условиям (5.3.8).
Рассуждения несколько упрощаются, если заметить, что два множителя в выражении (5.3.8) могут равняться 1 только в единственном случае:
m = 2, n = 1, A = 6.
Действительно, два множителя в (5.3.8) могут быть равны 1, только если
n = m — n = 1,
что и дает указанное выше значение.
Пример. Найдем все треугольники Пифагора с площадью А = 360. Разложение числа А на простые множители таково: A = 23 32 • 5. Число А может быть единственным образом записано в виде произведения четырех взаимно простых множителей: А = 8 • 1 • 5 • 9. Если мы ищем простейший треугольник, то m + n = 9. Однако если m = 8, то n = 1 и m — n = 7, но А не делится на 7, а вторая возможность (n = 8, m = 1) исключается условием > n. Поэтому такого треугольника не существует.
Этот результат не исключает возможности существования треугольников с площадью А = 360, не являющихся простейшими. Следующее соображение может быть использовано в общем случае для нахождения треугольников заданной площади, не являющихся простейшими. Если длины всех сторон треугольника имеют общий делитель d, т. е. могут быть записаны как
dx, dy, dz,
то его площадь равна
А = 1/2 dx dy = d2mn (m — n) (m + n).
Таким образом, число d2 является множителем числа А и, если число d есть наибольший общий делитель длин сторон, то число
А0 = A/d2 = mn (m — n) (m + n)
должно быть площадью простейшего треугольника.
Применим полученный результат к только что рассмотренному случаю А = 360. У этого числа существуют три множителя, являющиеся квадратами;
d1 = 4, d2 = 9, d3 = 36.
Соответственно находим
A/d1 =90 = 2 • 32 • 5, A/d2 = 40 = 23 • 5, A/d3 = 10 = 2 • 5.
Не существует способов написать число 40 или 10 в виде произведения четырех взаимно простых множителей, а число 90 может быть представлено в таком виде, причем единственным образом, а именно:
90 = 1 • 2 • З2 • 5.
(В числе сомножителей 1 может встречаться не более одного раза, за исключением случая m = 2, n = 1, А = 6.) Так как наибольшим множителем является 9, то мы должны взять m + n = 9. Однако, перебирая все возможные значения m = 1, 2, 5, получим соответственно n = 8, 7, 4. Условие m > n исключает все случаи, кроме m = 5, n = 4, для которого, однако, mn (m + n) (m — n) ≠ 90. Итак, мы получили, что не существует ни простейшего, ни иного треугольника Пифагора с площадью А = 360.
Можно было бы затронуть еще много других вопросов, но упомянем лишь об одном из них. Периметр треугольника равен
c = x + y + z; (5.3.9)
для простейшего треугольника Пифагора получаем
с = 2mn + (т2 — n2) + (m2 + n2) = 2n (m + n).
Мы предоставляем читателю самому отыскать метод нахождения всех треугольников Пифагора с заданным периметром. Не пренебрегайте рассмотрением
числовых примеров.
Мы решили задачу построения всех треугольников Пифагора. Это ведет нас к исследованию более общих связанных с ней задач. Естественным обобщением задачи Пифагора является задача Герона, названная по имени древнегреческого математика Герона, жившего в Александрии: найти все треугольники с целочисленными сторонами, площади которых также выражаются целыми числами. Эта задача отличается от задачи Пифагора тем, что условие наличия прямого угла заменено требованием целочисленности площади. Очевидно, что всякий треугольник Пифагора удовлетворяет условиям задачи Герона.
Для проверки того, является ли данный треугольник треугольником Герона, проще всего применить формулу Герона для площади треугольника,
где с — это периметр треугольника, определенный в (5.3.9). Хотя известно значительное число треугольников Герона, не существует общей формулы, описывающей все эти треугольники. Приведем несколько из них (не прямоугольных):
x = 7 y = 15 z = 20
9 10 17
13 14 15
39 41 50
Мы не можем закончить рассказ о треугольниках Пифагора, не упомянув об одной из самых знаменитых проблем математики, гипотезе П. Ферма:
для n > 2 не существует натуральных чисел x, у, z таких, что