1 0 N Е Y
Но, исследуя колонку сотен, находим, что обязательно должен быть перенос из колонки десятков (иначе Е + 0 = Е, а не N), и так как Е ≤ 9, то
E + 0 + 1 = 10.
Это вынудило бы нас положить N = 0, но мы уже знаем, что О = 0, поэтому такой случай невозможен, и мы заключаем, что S = 9, и послание теперь читается так:
9 Е N D
1 0 R E
_________
1 0 N Е Y
Так как Е ≠ N, то сложение в колонке сотен приводит к условию E + 1 = N,
и
9 Е E+1 D
1 0 R Е
____________
1 0 E+1 Е Y
Сложение в колонке десятков дает либо
E + 1 + R = 10 + E, либо E + 1 + R + 1 = 10 + E.
Первый случай невозможен, так как он дает R = 9, что противоречит тому, что S = 9. Во втором случае R = 8, и послание читается так:
9 Е Е+1 D
1 0 8 E
____________
1 0 E+1 Е Y
И наконец, сумма в колонке единиц такова:
D + E = 10 + Y.
Для трех букв D, E, Y остаются только значения 2, 3, 4, 5, 6, 7. Наибольшая сумма двух различных чисел из них равна 13. Отсюда существует всего две возможности для Y: либо Y = 2, либо Y = 3. Последний случай невозможен, так как при этом D + E = 13, но мы не можем иметь E = 7, так как тогда N = E + 1 = 8 = R; также не может быть D = 7, так как тогда E = 6 и N = E + 1 = 7 = D.
Таким образом, Y = 2 и D + E = 12. Из имеющихся цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7 единственной парой, в сумме дающей 12, являются 5 и 7. Так как Е ≠ 7, то это означает, что D = 7, Е = 5 и, таким образом, единственное решение нашей задачи следующее:
9 5 6 7
1 0 8 5
_________
1 0 6 5 2
Этот процесс довольно сложен, во многих случаях можно получить решение гораздо более простым путем.
Система задач 6.6.
1. Попытайтесь проанализировать следующие при-
меры только что показанным методом:
1. S Е N D
M O R E
G O L D
_________
M O N E Y
2. H O C U S
P O C U S
___________
P R E S T O
3. F O R T Y
T E N
T E N
_________
S I X T Y
4. A D A M
A N D
E V E
A
_______
R A F T
5. S E E
S E E
S E E
Y E S
_______
E A S Y
Переводы этих ребусов таковы:
1. «Шлите больше золотых монет», 2. «Фокус — Покус — Престо», 3. «Сорок + десять + десять = шестьдесят», 4. «Адам и Ева на плоту», 5. «Смотри, смотри, смотри. Да! Легко».
Если хотите, попробуйте придумать свои ребусы. Если вы знакомы с ЭВМ, то попытайтесь запрограммировать решение таких задач.
ГЛАВА 7 СРАВНЕНИЯ
§ 1. Определение сравнения
Теория чисел имеет свою алгебру, известную, как теория сравнений. Обычная алгебра первоначально развивалась как стенография для операций арифметики. Аналогично, сравнения представляют собой символический язык для делимости, основного понятия теории чисел. Понятие сравнения впервые ввел Гаусс.
Прежде чем мы обратимся к понятию сравнения, сделаем одно замечание о числах, которые будем изучать в этой главе. Мы начали эту книгу, заявив, что будем рассматривать целые положительные числа 1, 2, 3…, и в предыдущих главах мы ограничивались только этими числами и дополнительным числом 0. Но теперь мы достигли стадии, на которой целесообразно расширить наши границы, рассматривая все целые числа:
0, ±1, ±2, ±3….
Это никоим образом не повлияет на наши предыдущие понятия; далее, когда мы будем говорить о простых числах, делителях, наибольших общих делителях и тому подобном, мы будем считать их целыми положительными числами.
Теперь вернемся к языку сравнений. Если а и b — два целых числа и их разность а — b делится на число m, мы выражаем это записью
a ≡ b (mod m) (7.1.1)
которая читается так:
а сравнимо с b по модулю m.
Делитель m мы предполагаем положительным; он называется модулем сравнения. Наше высказывание (7.1.1) означает, что
a — b = mk, где k — целое число. (7.1.2)
Примеры.
1) 23 ≡ 8 (mod 5), так как 23 — 8 = 15 = 5 3;
2) 47 ≡ 11 (mod 9), так как 47–11 = 36 = 9 4;
3) —11 ≡ 5 (mod 8), так как — 11 — 5 = —16 = 8 (-2);
4) 81 ≡ 0 (mod 27), так как 81 — 0 = 81 = 27 3.
Последний пример показывает, что вообще, вместо того, чтобы говорить: число а делится на число m, мы можем записать
a ≡ 0 (mod m),
так как это означает, что
а — 0 = а = mk,
где k — некоторое целое число. Например, вместо того, чтобы сказать, что а — четное число, мы можем записать
a ≡ 0 (mod 2).
Таким же образом видно, что нечетное число является числом, удовлетворяющим сравнению
а ≡ 1 (mod 2).
Эта несколько странная терминология является довольно обычной для математических работ.
§ 2. Некоторые свойства сравнений
Способ, которым мы записываем сравнения, напоминает нам уравнения, и в действительности, сравнения и алгебраические уравнения имеют много общих свойств. Простейшими из них являются три следующих свойства: