р = 9689, р = 9941, р = 11213.
Итак, общий урожай составил 23 простых числа Мерсенна, и, так как мощности ЭВМ продолжают увеличиваться, мы надеемся на дальнейший успех. Простое число Лукаса М127, как мы уже упоминали, имеет 39 цифр. Даже вычисление самого большого из известных простых чисел, числа M11213, является довольно сложной задачей и, по-видимому, нет смысла воспроизводить здесь это число. Если же мы захотим узнать, сколько цифр содержит это число, то мы можем сделать это, не вычисляя самого числа.
Вместо нахождения количества цифр числа Мр = 2p — 1 рассмотрим эту задачу для числа Мр + 1 = 2р.
Эти два числа имеют одинаковое количество цифр, так как если бы число Мр + 1 имело на одну цифру больше, то оно должно было бы оканчиваться на 0. Но это невозможно ни для какой степени числа 2, что видно из ряда
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 266….
в котором последняя цифра в каждом числе может быть только одним из чисел
2, 4, 8, 6.
Чтобы найти количество цифр числа 2p, вспомним, что Ig 2p = p lg 2. Из таблиц находим, что Ig 2 приближенно равняется 0,30103, откуда
lg 2p = p lg 2 = р • 0,30103.
Для р = 11213 получаем
lg 211213 = 3375,449…,
и так как характеристика этого числа равна 3375, то мы приходим к выводу, что число 2p имеет 3376 цифр.
Итак, мы можем сказать следующее.
Самое большое известное в настоящее время простое число имеет 3376 цифр. (Здесь слова «в настоящее время» имеют существенное значение.) Это число было найдено на ЭВМ Иллинойского университета (США). Математический факультет этого университета был так горд своим достижением, что изобразил это число на своем почтовом штемпеле, таким образом воспроизводя его на каждом отсылаемом письме, для всеобщего восхищения.
§ 3. Простые числа Ферма
Существует также еще один тип простых чисел с большой и интересной историей. Они были впервые введены французским юристом Пьером Ферма (1601–1665), который прославился своими выдающимися математическими работами. Первыми пятью простыми числами Ферма являются
F0 = 22° + 1 = 3,
F1 = 22¹+ 1 = 5,
F2 = 22² + 1 = 17,
F3 = 22³ + 1 = 257,
F4 = 22ˆ4 + 1 = 65 537.
В соответствии с этой последовательностью общая формула для простых чисел Ферма должна иметь вид
Fn = 22ⁿ+1. (2.3.1)
Ферма был абсолютно уверен, что все числа этого вида являются простыми, хотя он не проводил вычислений других чисел, кроме указанных пяти. Однако это предположение было сдано в архив неоправдавшихся математических гипотез после того, как Леонард Эйлер сделал еще один шаг и показал, что следующее число Ферма
F5 = 4 294 967 297 = 641 6 700 417
не является простым, что и показывает приведенная запись. Возможно, что этим история чисел Ферма была бы закончена, если бы числа Ферма не появились в совсем другой задаче, задаче построения правильных многоугольников при помощи циркуля и линейки.
Правильным многоугольником называется многоугольник, вершины которого лежат на некоторой окружности на одинаковых расстояниях друг от друга (рис. 13). Если у правильного многоугольника n вершин, то мы называем его правильным n-угольником.
Рис 13.
Если мы проведем n радиусов, соединяющих центр окружности с вершинами, то получим n центральных углов величиной
1/n 360°
каждый. Если можно построить угол, имеющий эту величину, то можно построить и этот n-угольник.
Древние греки очень хотели найти методы построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Разумеется, они умели строить простейшие из них — равносторонний треугольник и квадрат. С помощью повторного деления пополам центрального угла они могли также построить правильные многоугольники с
4, 8, 16, 32…,
3, 6, 12, 24…
вершинами. Кроме того, они умели строить правильный пятиугольник, и следовательно, также правильные многоугольники с
5, 10, 20, 40…
вершинами. Был также получен еще один тип правильного многоугольника. Центральный угол в правильном 15-угольнике равен
1/15 360° = 24°,
и он может быть получен с помощью утла в 72°, соответствующего правильному пятиугольнику, и угла в 120°, соответствующего правильному треугольнику, если удвоить первый угол и вычесть из него второй. Следовательно, мы можем построить правильные многоугольники с 15, 30, 60, 120… сторонами.
В таком состоянии проблема оставалась до 1801 года, когда вышла работа по теории чисел молодого немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777–1855) «Арифметические исследования». Она открыла новую эпоху в математике. Гаусс превзошел греческих геометров не только в том, что указал метод построения циркулем и линейкой правильного 17-угольника, но и пошел гораздо дальше. Для всех чисел n он определил, какие n-угольники могут быть построены таким образом, а какие нет. Сейчас мы опишем результаты, полученные Гауссом.