Что конкретно есть математика? Многие пытались, но никому на самом деле не удалось дать ей определение; математика — это всегда что-то еще. Люди знают, что она, грубо говоря, имеет дело с числами и цифрами, с моделями, отношениями, операциями и что ее формальные процедуры, включающие аксиомы, доказательства, леммы и теоремы не изменились со времен Архимеда. Также им известно, что математика претендует на звание основы всего рационального мышления.
Некоторые могли бы сказать, что это внешний мир снабдил наше мышление — то есть работу человеческого мозга — тем, что сейчас называют логикой. Другие — философы и ученые — говорят, что логическое мышление (мыслительный процесс?) есть плод внутренних совершенствований разума, которые в процессе эволюции развивались «независимо» от деятельности внешнего мира. Очевидно, что математика связана и с тем, и с другим. Она, вероятно, представляет собой язык, который служит как для описания внешнего мира, так и для самоанализа, возможно, даже в большей степени. Ведь в своем эволюционном переходе от более примитивной нервной системы, мозг как орган, состоящий из десяти или более миллиардов нейронов и намного более огромного числа связей между ними, изменялся и увеличивался, скорее всего, в результате множества обстоятельств.
Само существование математики объясняется существованием утверждений или теорем, которые очень просто сформулировать, но доказательства которых требуют страниц и страниц объяснений. Почему все происходит именно так, не знает никто. Но простота многих таких утверждений представляет как эстетическую ценность, так и философский интерес.
На протяжении всего развития математики ее эстетическая сторона представляла самое большое значение. Не так важно, насколько полезна теорема, куда важнее то, насколько она изящна. Отдать должное эстетической ценности математики со всей полнотой могут лишь немногие «нематематики» и даже ученые из других областей, но для тех, кто ею занимается, эта ценность неоспорима. Можно, однако, рассуждать и о невзрачной стороне математики. Эта невзрачность связана с тем, что в математике необходима крайняя щепетильность, уверенность в каждом сделанном шаге. В математике нельзя останавливаться, ведя большой и широкой кистью. Все детали нужно охватывать одновременно.
«Математика — это язык, в котором нет места неточным и туманным высказываниям» — это слова Пуанкаре, которые он произнес, если я не ошибаюсь, во время своей речи о мировой науке в Сан-Луи очень много лет назад. Приводя пример влияния языка на мышление, он описал, как менялись его ощущения, когда он говорил не по-французски, а по-английски.
Я склонен согласиться с ним. Общеизвестно, что во французском языке есть некая прозрачность, отсутствующая в других языках, и, я полагаю, именно она составляет отличную черту французской математической и научной литературы. Мысли получают разные направления. Французский наводит меня на обобщения и побуждает к упрощению и краткости. Английский взывает к здравому смыслу. Немецкий затягивает вглубь проблемы, которая не всегда бывает достаточно глубокой.
Польский и русский языки характеризуются своеобразным брожением, развитием мысли, которое можно уподобить усилению крепости настоя. Славянские языки мечтательны, душевны, эмоциональны, тяготеют скорее к психологии, нежели к философии, и не так зависимы от отдельных слов, как, например, немецкий язык, где слова и слоги сцепляются и соединяют мысли, которые иногда не слишком сочетаются друг с другом. Латынь — это опять нечто другое. Это упорядоченный язык; в нем всегда присутствует ясность; слова разделены; они не склеиваются, как в немецком; именно так хорошо приготовленный рис отличается от переваренного и слипшегося.
Вообще говоря, мои собственные впечатления о языках следующие: о чем бы я не говорил по-немецки, мне кажется, что я преувеличиваю, когда я говорю по-английски, то, напротив, как-будто недоговариваю что-то. И только сказанное на французском кажется верным, да еще на польском, так как это мой родной язык, и потому он кажется мне таким естественным.