И все же, любой алгоритм, любая форма заключает в себе некую магию. Содержимое Еврейского Талмуда или даже Каббалы не кажется такой уж богатой пищей для ума, являя собой лишь огромное собрание грамматических или кулинарных рецептов, местами поэтических, местами мистических, но в любом случае весьма произвольных. Но на протяжении веков тысячи умов вчитывались, запоминали, анализировали и классифицировали эти труды. Возможно, в этом занятии обострилась их память и дедуктивная практика. Подобно тому, как нож становится острее, когда мы затачиваем его на точильном камне, может «затачиваться» и наш мозг на скучных предметах наших мыслей. Любая форма усердного мышления имеет свою ценность.
Есть в математике утверждения, например, такие как великая теорема Ферма, которые сами по себе кажутся специальными и никак не связанными с теорией чисел, как таковой. Чрезвычайно простые в формулировках, они не поддались усилиям самых великих умов, пытавшихся доказать их. Такие теоремы стимулировали в наших умах (я ведь тоже не был исключением) более общий интерес и любопытство. А задача Ферма, специальная ли она сама по себе или даже не нужная, стимулировала за последние три века математики создание новых до сих пор актуальных объектов математической мысли, особенно создание так называемой теории идеалов в алгебраических структурах. История математики знает немало предметов, созданных таким путем.
Изобретение мнимых и комплексных чисел (представляющих собой пары вещественных чисел, которые умножаются и складываются по специальному правилу) помимо того назначения и применения, что им немедленно определили, открыло новые возможности и привело к обнаружению удивительных свойств комплексных переменных. Эти аналитические функции (самыми простыми примерами которых являются, скажем, z = √w, z = ew, z = logw) обладают простыми, неожиданными и непредвиденными ранее свойствами, которые выводятся из нескольких общих правил, которым они подчиняются. Они имеют удобные алгоритмы и довольно глубокие связи со свойствами геометрических объектов и некими загадками, связанными со столь хорошо нам знакомыми на первый взгляд, натуральными числами — обыкновенными целыми числами. То же самое мы ощутили бы, если бы некая невидимая, другая вселенная, правящая нашими мыслями, стала вдруг смутно проявляться сквозь эти мысли, вселенная с какими-то законами и фактами, о которых мы начали только смутно догадываться.
Трудно объяснить a priori с достаточной полнотой тот факт, что некоторые функции, кажущиеся очень специальными, например, дзета-функция Римана, имеют такие глубокие связи с поведением целых чисел или простых чисел. Он по сей день не вполне понят. Не так давно эти специальные аналитические функции, определяемые бесконечными рядами, были обобщены на пространства, отличные от плоскости всех комплексных чисел, например, на алгебраические поверхности. Эти примеры показывают связи между как будто разными понятиями. Они также свидетельствуют о существовании (следующая метафора навеяна самой темой рассуждения) еще одной поверхности реальности, римановой поверхности мышления (Riemann surface of thought) и связей мышления, о которых мы на сознательном уровне ничего не знаем.
Некоторые из свойств аналитических функций комплексного переменного, как оказывается, не только удобны, но и фундаментально связаны с физическими свойствами материи, в теории гидродинамики, а именно описании движения несжимаемых жидкостей, таких как вода, в электродинамике и основах самой квантовой теории.
Создание общей, несомненно абстрактной идеи пространства, о которой на самом деле нельзя сказать, что ее полностью подсказало или каким-то уникальным образом указало на нее физическое пространство, в котором происходит наше чувственное восприятие, обобщение до n-мерного пространства, где п > 3 и даже до бесконечномерного пространства, столь полезное, во всяком случае как язык основ самой физики. Что это? Изумительные плоды нашего могущественного мозга? Или это откровение природы физической реальности? Само изобретение (или «открытие») существования различных степеней или различных видов бесконечности оказало не только философское, но и, сверх того, поразительное психологическое влияние на восприимчивые умы.