Интерес к фундаментальным основам математики в какой-то степени философский, однако в конечном итоге он распространяется на всю математику, как и теория множеств. Однако если выражение «фундаментальные основы» — термин неудачный, в настоящее время это всего лишь еще один математический предмет, но, безусловно, фундаментальный.
Огромная дихотомия в происхождении и вдохновении математической мысли — которую стимулируют с одной стороны влияние внешней реальности, материального мира, а с другой стороны воздействие развивающегося процесса психологии, очень вероятно, что человеческого мозга — имеет небольшой и особый гомоморфический образ в настоящем и будущем применении электронных компьютеров.
Даже самый идеалистический взгляд на математику как на «чистое» создание единственно человеческого ума должен согласовываться с тем фактом, что выбор определений и аксиом геометрии — а фактически, и большинства математических концепций — это результат впечатлений, полученных посредством наших чувств от внешних раздражителей и, что неотъемлемо, от наблюдений и экспериментов во «внешнем мире». Теория вероятностей, например, появилась как результат развития нескольких вопросов, связанных с азартными играми. Сегодня вычислительные машины, предназначенные для решения специальных задач математики, позволяют надеяться на очень мощное увеличение масштаба Gedanken экспериментов[38], идеализацию опыта и наших более абстрактных схем мышления. Судя по всему, экспериментирование с моделями игр, в которых участвует самоорганизованная живая материя через посредничество химических реакций, протекающих в живых организмах, приведет к новым абстрактным математическим схемам. Новые математические структуры могли бы возникнуть и в результате нового изучения математики эволюционирующих моделей и возможности экспериментального изучения на вычислительных машинах процесса конкуренции или состязаний между геометрическими конфигурациями, имитирующими борьбу за выживание. Здесь можно было бы применить выражение вроде «payzonomy» к комбинаторике конкурирующих реакций и «auxology» к еще только развивающейся теории роста самоорганизации, которая в конечном итоге включает и растущее дерево самой математики[39].
До сих пор для отображения математических свойств геометрической эволюции предлагались только очень простые и недоработанные математические схемы (мои собственные незамысловатые модели представлены в недавно вышедшей книге «Теория клеточных автоматов» («А Theory of Cellular Automata») под редакцией Артура Беркса, изданной издательским домом Иллинойского университета).
Особенно оригинальный набор правил придумал английский математик Джон Конвей, специалист по теории чисел. Его «Игра Жизни» является примером развлечения или игры, очень похожей на ранние задачи с элементами игры в карты или кости, которая в итоге подвела к современному строению теории вероятностей и, возможно, подведет к новой большой теории, описывающей «процессы», которые изучал в своей философии Альфред Норт Уайтхед.
Использование компьютеров не только удобно, но и абсолютно необходимо в этих экспериментах, которые предполагают слежение за играми или состязаниями на протяжении огромного количества ходов или этапов. Я считаю, что опыт, приобретенный в результате наблюдения за поведением таких процессов, окажет фундаментальное влияние на все, что способно обобщить или даже заменить наблюдаемое сегодня в математике исключительное следование формальному аксиоматическому методу.
Вышеупомянутые результаты, полученные не так давно Полем Коэном и другими учеными — Петром Новиковым, Хао Вангом, Юрием Матиясевичем — и характеризующиеся независимостью от традиционной системы аксиом некоторых наиболее фундаментальных математических утверждений, говорят о новой роли прагматических подходов. Работа с автоматами поможет определить, можно ли решить задачу с помощью существующих средств.
Давайте рассмотрим «маленькую» специальную задачу с трехмерным пространством, чтобы проиллюстрировать то, о чем мы рассуждаем. В пространстве имеется замкнутая кривая и твердое тело данной формы. Задача состоит в том, чтобы протолкнуть данное дело через данную кривую. В математике нет четких критериев, которые позволили бы судить о том, осуществимо это или нет. Тело приходится вращать, покачивать, проталкивать и «пробовать», чтобы узнать можно ли это сделать. Аналогичную задачу можно рассматривать и при большем числе измерений, к примеру пяти. Идея заключается в том, чтобы занести ее в компьютер и пробовать различные возможности движения. Возможно, после очень большого числа таких попыток у исследователя этой задачи разовьется ощущение свободного маневрирования и в пространстве с большим числом измерений, а также новая почти тактильная интуиция. Это, конечно, частный, незначительный и неважный пример, однако я считаю, что мы могли бы развить в себе новые свойства воображения, благодаря подходящему экспериментированию вкупе с новыми средствами, особенно электронными компьютерами, реализуя на них и наблюдая с их помощью различные процессы роста и эволюционное развитие.
39
«Payzonomy» и «auxology» — авторские выражения, поэтому имеет смысл сохранить в тексте их оригинальный вид. Поясним только, что под «payzonomy» автор подразумевает теорию игр, а под «auxology» — теорию роста самоорганизации, известную сейчас под более популярным названием «синергетика» —