Я принадлежу к числу тех, кто любит скорее затевать новое, чем что-то совершенствовать и развивать. Чем проще и «ниже» то, с чего я начинаю, тем больше мне это нравится. Не помню, чтобы я использовал когда-то сложную теорему, чтобы доказать еще более сложную (хотя, конечно, все это относительно и «ничего нового под солнцем нет» — все можно привести к Архимеду или более ранним мыслителям).
Я также считаю, что привычка менять области своей деятельности в течение жизни придает энергии. Если человек слишком долго работает в одной и той же области или с одним и тем же классом проблем, то своеобразная «оседлость» препятствует формулированию им новых взглядов, и он может одряхлеть. К сожалению, в математической творческой деятельности это нередкое явление.
Но при всем понимании красоты, видении новых реалий, при всех грандиозных открывающихся видах математика обладает неким одурманивающим свойством, менее явным или полезным для здоровья. Оно сродни действию некоторых искусственных наркотиков. Наркотическое воздействие может оказать самая маленькая задача, если в ней с первого взгляда распознается тривиальность или повторяемость. Можно затянуться, начав решать такие задачи. Я помню, как журнал «Mathematical Monthly» время от времени публиковал посылаемые одним французским геометром задачи, которые имели дело с банальными расположениями на плоскости окружностей, прямых и треугольников. «Belanglos» — как говорят немцы, но тем не менее эти картинки могли увлечь вас сразу, как только вы начинали думать о том как найти решения, даже если вместе с тем вы осознавали, что это решение едва ли повлечет за собой какие-нибудь более увлекательные и более общие вещи. Это разительно отличается от того, что я рассказывал о теореме Ферма, которая подвела к созданию новых обширных алгебраических понятий. Разница, может быть, заключается в том, что малозначимые задачи можно решить, прилагая скромное усилие, тогда как теорема Ферма, не решенная до сих пор, продолжает оставаться вызовом для всех математиков[41]. И все же для ненастоящего математика оба эти типа математического любопытства обладают сильнонаркотическим свойством, проявляющимся на всех уровнях, начиная от пустяков и заканчивая самыми вдохновляющими идеями.
В прошлом всегда было несколько математиков, таких как Пуанкаре, Гильберт, Вейль, которые явным или скрытым образом подавали другим особые идеи, позволяя им выбирать направление своей деятельности. В наши дни подобное становится все более проблематичным, если не невозможным. Вероятно, в мире нет ни одного математика, понимающего все, что на сегодня выходит из печати.
Написанная более тридцати лет назад Эриком Темплем Беллом книга «Развитие математики» («The Development of Mathematics») содержит сокращенное, но замечательное описание истории математики. (Возможно, оно нравится мне, потому что, как говорит Джанкарло Рота, там упомянута моя работа, при том, что книга эта небольшая и была написана, когда мне было всего лишь двадцать восемь лет. Согласитесь, что гораздо приятнее быть упомянутым в кратком сочинении, чем в книге с десятью тысячами страниц!) Но когда какой-то издатель попросил Вейля написать об истории математики двадцатого века, тот отказался. Он знал, что ни один человек не смог бы этого сделать.
Лет тридцать пять назад фон Нейман, который мог бы взяться за такое дело, признался мне, что знает не более трети от всего математического свода. По его предложению я однажды устроил для него нечто вроде докторского экзамена на проверку знаний в различных областях, который сдают кандидаты на докторскую степень. Я попытался отобрать те вопросы, на которые он затруднился бы ответить. Мне и в самом деле удалось найти несколько вопросов — в дифференциальной геометрии, теории чисел, алгебре — на которые он не смог ответить удовлетворительно. (Это, между прочим, может говорить и о том, что сдача экзаменов на получение степени доктора не имеет неизменного значения.)
Что касается меня, я не могу утверждать, что знаю много о техническом материале математики. Чем я, скорее всего, обладаю, так это пониманием сути и, в ряде ее областей, возможно, сущности сути. Обладание таким умением догадываться или чувствовать, что окажется новым, а что уже известно или еще неизвестно является возможным и тогда, когда речь идет о тех разделах математики, в которых тебе не известны детали. Думаю, в какой-то мере мне свойственна эта способность. Мне часто удается определить является ли утверждение теоремой (т. е. оно доказано) или это только новое предположение. Возникновение этого ощущения зависит от способа расстановки квантификаторов, так сказать, от тона или музыки утверждения.