5.13. Приближение цепной дроби Между двумя параллельными осями вращения требуется так установить зубчатую передачу, чтобы отношение угловых скоростей вращения было по возможности более близким к числу 355/113. Один из способов состоит в том, чтобы получить точное значение указанного отношения, поместив на одной оси шестеренку с 355 зубьями, а на другой - со 113 зубьями. Нельзя ли подобрать две шестеренки имеющие меньше 25 зубьев каждая, обеспечив при этом абсолютную погрешность, не превышающую 0,002?
Решения
5.1. а) Так как 36 = 22*32 и 20 = 22*5, то (36, 20) = 22 = 4.
б) Так как 1365 = 3*5*7*13 и 1225 = 52*72, то (1365, 1225) = 5*7 = 35.
в) Так как 1189 = 29*41 и 589 = 19*31, то (1189, 589) = 1.
5.2. Докажем, что все общие делители пары чисел а и b являются общими делителями пары чисел b и r и, наоборот, все общие делители пары чисел b и r являются общими делителями пары чисел а и b. Тогда и наибольшие общие делители обеих пар будут совпадать.
Пусть d - какой-нибудь общий делитель чисел а и b. Так как a = qb + r, то число r = a - qb также делится на d (ибо оно есть разность чисел а и qb, кратных d). Поэтому число d является общим делителем чисел b и г. Аналогично, если числа b и r имеют общий делитель d, то тот же делитель будет иметь и число a = qb + r, т. е. число d будет общим делителем чисел а и b.
В случае r = 0 получаем, что наибольший общий делитель пары чисел а и b равен наибольшему делителю числа b (не равного нулю), т. е. самому числу b.
5.3. Заметим, что остаток от деления любого числа на число а обязательно меньше самого числа а. Поэтому последовательность ненулевых остатков удовлетворяет неравенствам
a2>a3>a4>a5>...>0 и не может быть бесконечной, так как она содержит не более a2 чисел. Следовательно, описанный алгоритм не может продолжаться бесконечно. Если же число an разделится на аn+1 нацело, то, согласно результату задачи 5.2, будут выполнены равенства
(a1, a2) = (a2, a3) = (a3, a4) = ... = (an , an+1) = an+1, т. е. наибольший общий делитель пары чисел a1 и a2 будет равен an+1.
5.4. а) Так как
36 = 1*20 + 16, 20 = 1*16 + 4, 16 = 4*4,
то (36, 20) = 4.
б) Так как
1365 = 1*1225 + 140, 1225 = 8*140 + 105, 140 = 1*105 + 35, 105 = 3*35,
то (1365, 1225) = 35.
в) Так как
1189 = 2*589 + 11, 589 = 53*11 + 6, 11 = 1*6 + 5, 6 = 1*5 + 1, 5 = 1*5,
то (1189, 589) = 1.
5.5. Найдем наибольший общий делитель пары чисел, стоящих в числителе и знаменателе дроби, и сократим дробь на этот делитель.
а) Воспользуемся алгоритмом Евклида:
2147 = 1*1577 + 570, 437 = 3*133 + 38,
1577 = 2*570 + 437, 133 = 3*38+19,
570 = 1*437 + 133, 38 = 2*19,
откуда (2147, 1577) = 19. Произведя деление числителя и знаменателя дроби на 19, находим
б) Заметим вначале, что числитель и знаменатель исходной дроби делятся на 6, поэтому ее можно сократить на 6 и получить дробь 221/2023. Теперь применим алгоритм Евклида:
2023 = 9*221 + 34, 221 = 6*34 + 17, 34 = 2*17.
Таким образом, (2023, 221) = 17 и дробь можно сократить еще на 17:
5.6. Из прямоугольника размером 135*40 сначала вырезаны квадраты со стороной, равной меньшей стороне этого прямоугольника, т.е. 40. Количество таких квадратов равно частному от деления 135 на 40 с остатком:
135 = 3*40 + 15. Из оставшегося прямоугольника размером 40*15 вырезаны квадраты со стороной 15, которых, согласно делению 40 на 15 с остатком
40= 2*15 + 10, можно вырезать два. Из оставшегося прямоугольника размером 15*10 вырезан один квадрат со стороной 10, что соответствует делению 15 на 10 с остатком:
15 = 1*10 + 5. Наконец, последний прямоугольник размером 10*5 разрезан на два квадрата со стороной 5, так как
10 = 2*5. Как показывает приведенный анализ, рассмотренный способ разрезания на квадраты прямоугольника размером а1*а2, по существу, является демонстрацией алгоритма Евклида нахождения наибольшего общего делителя пары чисел а1 = 135 и а2 = 40. Вообще прямоугольник размером а1*а2 можно разрезать на квадраты со сторонами а2, а3, а4, ..., аn+1 в полном согласии с формулами алгоритма Евклида (см. задачу 5.3), причем последовательные частные q1, q2, ..., qn укажут количества соответствующих квадратов.
5.7. Цепочку равенств, получающихся при нахождении наибольшего общего делителя пары чисел а1 и а2 с помощью алгоритма Евклида (см. задачу 5.3), перепишем следующим образом: