и общее сопротивление будет равно третьей подходящей дроби. Продолжая эти рассуждения до конца, мы придем к тому, что если отсоединить только (n-1)-й блок, то общее сопротивление будет равно (n-1)-й подходящей дроби. Наконец, если ничего не отсоединять, то общее сопротивление будет равно последней подходящей дроби, т. е. самой цепной дроби, равной a/b.
5.12. а) Так как 
- несократимая дробь, то P1 = q1, Q1 = 1. Так как 
- несократимая дробь, то P2 = q1q2 + 1, Q2 = q2. Для k = 3 получаем
откуда имеем Р3 = Р2q3 + Р1, Q3 = Q2q3 + Q1, т. е. при k = 3 формулы справедливы, Пусть они уже доказаны для значения k-1:
Тогда, заменяя qk-1 выражением 
мы из дроби 
получим k-ю подходящую дробь
откуда имеем Pk = Рk-1qk + Рk-2, Qk = Qk-1qk + Qk-2, т.е. формулы справедливы и для значения k (несократимость каждой из дробей 
была доказана в решении задачи 5.9).
б) В силу формул п. а) при k = 2, ..., n имеем
Поэтому для любого значения k = 2, ..., n получаем
что и требовалось доказать,
5.13. Если бы мы захотели приблизить данную дробь 
десятичной дробью 
то для достижения заданной точности потребовалось бы подобрать значения a и k из неравенства 
Проверка дробей 
показывает их непригодность и убеждает нас в том, что такой перебор значений весьма затруднителен, да и вряд ли приведет к успеху".
Попробуем приблизить данную дробь с помощью подходящих дробей к цепной дроби
Первая подходящая дробь 3/1 дает погрешность 
а значит, не годится. Зато вторая подходящая дробь, равная 22/7, отличается от третьей, равной исходной дроби, на величину
(см. соотношение п. б) задачи 5.12 при k = 3). Таким образом, шестеренки с 22 и 7 зубьями удовлетворяют всем условиям задачи.
§ 6. По следам Диофанта
Самые разные задачи практического содержания часто приводят к уравнениям, в которых неизвестные по своему смыслу могут принимать только целочисленные значения. Уравнения в целых числах рассматривались еще в глубокой древности. Особенно много ими занимался александрийский математик Диофант, имя которого и носят уравнения в целых числах.
Простейшим примером диофантова уравнения служит линейное уравнение
ax + by = c в целых числах (естественно, с целыми коэффициентами а, b и с). Оно может быть решено разными способами. Но, пожалуй, наиболее универсальный способ тесно связан, как это ни странно, с алгоритмом Евклида и цепными дробями (см. § 5).
6.1. Без сдачи Докажите, что любую денежную сумму, выраженную целым числом рублей, большим 7, можно уплатить без сдачи, имея лишь трехрублевые и пятирублевые купюры в достаточном количестве.
6.2. Оплата покупки Докажите, что за любую покупку стоимостью в целое число рублей можно заплатить одними трехрублевыми купюрами, если у кассира имеются только пятирублевые купюры. Какое наименьшее количество пятирублевых купюр достаточно при этом иметь кассиру?
6.3. Необходимое условие разрешимости Пусть а, b, с - ненулевые целые числа. Докажите, что если число с не делится на наибольший общий делитель пары чисел а и b, то уравнение ах + bу = с в целых числах не имеет решений.
6.4. Сорока купюрами Можно ли набрать сумму в 1000 рублей с помощью купюр достоинством в 1 рубль, 10 рублей, 100 рублей таким образом, чтобы всего было использовано ровно 40 купюр?
6.5. Затруднение кладовщика На складе имеются гвозди, упакованные в ящики по 16 кг, 17 кг и 40 кг. Может ли кладовщик отпустить 140 кг гвоздей, не вскрывая ни одного ящика?
6.6. Линейные диофантовы уравнения Покажите, как свести решение уравнения
ax + by = c
в целых числах с ненулевыми целыми коэффициентами а, b, с к решению уравнения
a'x + b'y = c'
в целых числах, коэффициенты а', b', с' которого являются натуральными числами, причем числа а' и b' взаимно просты.
6.7. Состав с углем На станцию привезли 420 т угля в вагонах вместимостью по 15 т, по 20 т и по 25 т. Сколько каких вагонов было использовано, если известно, что всего было 27 вагонов?