в целых числах имело бы решение, что противоречило бы утверждению задачи 6.3 (ибо число 140 не делится на число (16, 40)=8). Далее, число х также не может быть равным 0, так как иначе было бы выполнено равенство 17y = 140 - 40z = 10(14 - 4z) и неотрицательное число 14 - 4z делилось бы на 17 при целом неотрицательном значении z, что невозможно. Наконец, число z также не может быть равным 0, так как иначе из равенства 17y = 140 - 16x = 4(35 - 4x) следовало бы, что число 35 - 4x кратно 17 при x>0, что невозможно.
Таким образом, числа x, y, z должны быть положительными, а числа х' = х - 1, y' = y - 1, z' = z - 1 - целыми неотрицательными, удовлетворяющими уравнению
16x' + 17y' + 40z' = 67.
Аналогичные рассуждения показывают, что y'≠0 и х'≠0, т. е. числа х" = х' - 1 и y" = y' - 1 должны удовлетворять уравнению
16x" + 17y" + 40z' = 34,
в целых неотрицательных числах, которое имеет единственное решение x" = 0, y" = 2, z' = 0. Таким образом, возвращаясь к исходным неизвестным, мы получаем единственное решение первоначального уравнения x = 2, y = 4, z = 1, т. е. 140 кг гвоздей можно отпустить только с помощью 2 ящиков по 16 кг, 4 ящиков по 17 кг и 1 ящика в 40 кг.
6.6. Если в правой части уравнения
ax + by = c
стоит отрицательное число, то умножим обе части уравнения на -1 и получим уравнение с положительным числом в правой части. Будем считать, что эта операция уже произведена с самого начала. Если коэффициент а отрицателен, то заменим неизвестную x неизвестной x' = -x и получим уравнение
-ax' + by = c
с положительным коэффициентом -а. Аналогично, если b<0, то замена y' = -y приводит к уравнению
ax - by' = c
с положительным коэффициентом -b. Поэтому каждый из коэффициентов а и b соответствующей заменой неизвестной можно сделать положительным. Будем считать, что это уже сделано. Если числа а и b не являются взаимно простыми, то наибольший общий делитель (a, b) = d чисел а и b должен быть делителем числа с (иначе в силу утверждения задачи 6.3 уравнение в целых числах не будет иметь решений). Поэтому имеем a = a'd, b = b'd, c = c'd и, поделив обе части уравнения на d, получаем уравнение
a'x + b'y = c'
с взаимно простыми коэффициентами а' и b'.
6.7. Пусть было использовано x, y и z вагонов вместимостью по 15 т, по 20 т и по 25 т соответственно. Тогда имеем
15x + 20y + 25z= 420, x + y + z = 27,
т. е. числа y и z должны удовлетворять уравнению
15(27 - y - z)+ 20y + 25z = 420
в натуральных числах. Преобразовывая это уравнение, получаем
y + 2z = 3,
т. е. y = z = 1 и x = 25. Итак, было использовано 25 вагонов по 15 т, 1 вагон в 20 т и 1 вагон в 25 т.
6.8. Если пара чисел x, y наряду с парой чисел x0, y0 удовлетворяет уравнению
ax + by = c
в целых числах с взаимно простыми коэффициентами а и b, то имеем ах + by = с = аx0 + by0, откуда а(x - x0) + b(y - y0) = 0. Так как число 
является целым, а числа b и а не имеют общих делителей, то число 
также является целым. Поэтому x - x0 = bk и y - y0 = ak, откуда получаем равенства
x = x0 + bk, y = y0 + ak.
Мы доказали, что любое решение уравнения задается указанными формулами. С другой стороны, при любом целом значении к имеем
a(x0 + bk) + b(y0 - ak) = ax0 + by0 = c,
т. е. ничего кроме решений эти формулы не задают.
6.9. Для неизвестных x и y, обозначающих количество мешков по 60 и по 80 кг соответственно, имеем уравнение
60x + 80y = 1000,
или уравнение
3x + 4y = 50
в целых неотрицательных числах. Одно целочисленное решение этого уравнения нетрудно угадать, воспользовавшись равенством
Учитывая формулы общего решения (см. задачу 6.8), получаем все целочисленные решения этого уравнения:
x = -50 +4k, y = 50 - 3k.
Теперь для того, чтобы найти все натуральные решения, наложим ограничения
из которых выведем оценки
Таким образом, полагая последовательно k = 13, 14, 15, 16, найдем все неотрицательные решения:
Наименьшее количество мешков x + y = 13 достигается при первом из найденных решений.