xn + yn = zn.
в целых числах не имеет решений.
Для решения некоторых типов диофантовых уравнений полезную роль могут сыграть так называемые комплексные числа. Что это такое? Пусть буквой i обозначен некий объект, удовлетворяющий условию i2 = -1 (понятно, что ни одно действительное число этому условию не удовлетворяет). Рассмотрим выражения вида α + iβ, где α и β - действительные числа. Такие выражения будем называть комплексными числами, определив над ними операции сложения и умножения, как и над двучленами, но с той лишь разницей, что выражение i2 всюду будем заменять числом -1:
7.1. Из одной тройки много Докажите, что если x0, y0, z0 - пифагорова тройка, то тройки y0, x0, z0 и x0k, y0k, z0k при любом значении натурального параметра k также являются пифагоровыми.
7.2. Частные формулы Проверьте, что при любых натуральных значениях m>n тройка вида
2mn, m2 - n2, m2 + n2
является пифагоровой. Всякую ли пифагорову тройку x, y, z можно представить в таком виде, если разрешить переставлять местами числа x и y в тройке?
7.3. Несократимые тройки Пифагорову тройку чисел, не имеющих общего делителя, большего 1, будем называть несократимой. Докажите, что пифагорова тройка является несократимой только в случае, если любые два из чисел тройки являются взаимно простыми.
7.4. Свойство несократимых троек Докажите, что в любой несократимой пифагоровой тройке x, y, z число z и ровно одно из чисел x или y являются нечетными.
7.5. Все несократимые тройки Докажите, что тройка чисел x, y, z является несократимой пифагоровой тройкой тогда и только тогда, когда она с точностью до порядка первых двух чисел совпадает с тройкой 2mn, m2 - n2, m2 + n2, где m>n - взаимно простые натуральные числа разной четности.
7.6. Общие формулы Докажите, что все решения уравнения
x2 + y2 = z2.
в натуральных числах задаются с точностью до порядка неизвестных x и y формулами
x = 2mnk, y = (m2 - n2)k, z = (m2 + n2)k,
где m>n и k - натуральные параметры (чтобы исключить дублирование каких-либо троек, достаточно выбирать числа тип взаимно простыми и к тому же разной четности).
7.7. Первые 10 троек Найдите все пифагоровы тройки x, y, z, удовлетворяющие условию x<y<z<30.
7.8. Свойства пифагоровых троек Докажите, что для любой пифагоровой тройки x, y, z справедливы утверждения:
а) хотя бы одно из чисел x или y кратно 3;
б) хотя бы одно из чисел x или y кратно 4;
в) хотя бы одно из чисел x, y или z кратно 5.
7.9. Применение комплексных чисел Модулем комплексного числа α + iβ называется неотрицательное число
Проверьте, что для любых комплексных чисел α + iβ и γ + iδ выполняется свойство
Пользуясь свойствами комплексных чисел и их модулей, докажите, что любые два целых числа m и n удовлетворяют равенству
(m2 + n2)2 = (m2 - n2)2 + (2mn)2,
т. е. задают решение уравнения
x2 + y2 = z2.
целых числах (сравните с задачей 7.5).
7.10. Непифагоровы тройки Пользуясь свойствами комплексных чисел и их модулей (см. задачу 7.9), найдите формулы для каких-либо целочисленных решений уравнения:
а) x2 + y2 = z3; б) x2 + y2 = z4.
Решения
7.1. Если x02 + y02 = z02, то y02 + x02 = z02, и при любом натуральном значении k имеем
(x0k)2 + (y0k)2 = (x02 + y02)k2 = z02k2 = (z0k)2 ,
что и требовалось доказать.
7.2. Из равенств
(m2 + n2)2 = m4 + 2m2n2 + n4 = (m4 - 2m2n2 + n4) + 4m2n2 = (m2 - n2)2 + (2mn)2
заключаем, что указанная в задаче тройка удовлетворяет уравнению x2 + y2 = z2 в натуральных числах. Однако не всякую пифагорову тройку x, y, z можно представить в таком виде; например, тройка 9, 12, 15 является пифагоровой, но число 15 не представимо в виде суммы квадратов каких-либо двух натуральных чисел m и n.