и того факта, что любое число, не кратное 5, представляется в одном из видов 5q ± 1 или 5q ± 2), а это значит, что либо число m2 - n2, либо число m2 + n2 кратно 5. Поэтому утверждение в) также справедливо.
7.9. Справедливость свойства модулей, сформулированного в задаче, вытекает из тождества
левая часть которого равна (|α + iβ|*|γ + iδ|)2, а правая равна (|α + iβ|*|γ + iδ|)2 = (|(αγ - βδ) + i(αδ + βγ)|)2. Теперь, учитывая доказанное свойство, получаем
что и требовалось доказать.
7.10. Будем искать неизвестную z в виде квадрата модуля некоторого комплексного числа. Тогда из равенств
получаем серию решений уравнения а) с целыми параметрами m и n:
x = m3 - 3mn2, y = 3m2n - n3, z = m2 + n2.
Аналогично из равенств
получаем серию решений уравнения б) с целыми параметрами m и n:
x = m4 - 6m2n2 + n4, y = 4m3n - 4mn3, z = m2 + n2.
§ 8. Расчеты при смешивании
Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, а иногда даже газообразные или твердые вещества, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды, т. е. усыхание. В задачах настоящего параграфа вам предстоит мысленно производить именно такие операции. Ниже всюду, если не оговорено противного, будем предполагать, что в результате перемешивания получается однородная масса. Это означает, что интересующая нас характеристика смеси одинакова для любой части смеси.
Одной из наиболее распространенных характеристик смеси является концентрация конкретной составляющей смеси, т. е. отношение количества этой составляющей к общему количеству смеси. При подсчете концентрации указанные количества могут измеряться как их весом (массой), так и объемом. В приведенных ниже задачах мы везде, где возникает разночтение в этом вопросе, будем брать для определенности весовые концентрации.
На практике концентрации принято выражать в сотых долях единицы, называемых процентами. Содержание какого-либо драгоценного металла в сплаве с примесями обычно называют пробой и обозначают числом тысячных долей единицы. Например, говоря о золоте 573-й пробы, мы подразумеваем, что в каждых 1000 г такого "золота" содержится только 573 г чистого золота.
В некоторых случаях нас будет интересовать не содержание одного вещества в другом, а, скажем, стоимость единицы смеси, удельный вес или давление (к которым применимы аналогичные рассуждения). Иногда же будет поставлен принципиальный вопрос о том, какого вещества в смеси больше или как добиться наибольшего его содержания.
8.1. Приготовление раствора В каких количествах нужно смешать жидкость с ее растворителем, чтобы получить 100 г 20-процентного раствора этой жидкости?
8.2. Два раствора В каких пропорциях нужно смешать раствор 50-процентной и раствор 70-процентной кислоты, чтобы получить раствор 65-процентной кислоты?
8.3. Старинный способ Для решения задачи 8.2 нарисуем схему
в которой слева запишем требуемую концентрацию кислоты в процентах, т. е. 65, затем друг под другом запишем концентрации имеющихся растворов, т. е. 50 и 70, наконец, подсчитаем и запишем крест-накрест соответствующие разности 65 - 50 = 15 и 70 - 65 = 5. Теперь можно сделать вывод, что для получения 65-процентной кислоты нужно взять растворы 50-процентной и 70-процентной кислот в отношении 5:15, или, что то же, 1:3. Дайте обоснование приведенному способу.
8.4. Разные пробы золота В каких пропорциях нужно сплавить золото 375-й пробы с золотом 750-й пробы, чтобы получить золото 500-й пробы?
8.5. Столовый уксус Имеется 90 г 80-процентной уксусной эссенции. Какое наибольшее количество 9-процентного столового уксуса из нее можно получить?