чистой кислоты, что должно составлять 65% от смеси, т. е. 
Таким образом, получаем уравнение
откуда имеем 5y = 15х и находим искомое отношение x:y = 5:15 = 1:3. Это означает, что смешивать надо 1 часть первого раствора с 3 частями второго.
8.3. Пусть требуется смешать растворы a-процентной и b-процентной кислоты, чтобы получить c-процентный раствор. Без ограничения общности можно считать, что a<b (иначе поменяем местами в тексте первый и второй растворы), причем a≤c≤b: если c<a или c>b, то c-процентный раствор, конечно, получить нельзя. Рассуждая, как и при решении задачи 8.2, получаем, что если берется x частей первого раствора и y частей второго, то должно быть выполнено равенство
откуда вытекает соотношение (b - с)y = (c - a)x, т. е. x:y = (b - c):(c - a). Такой же вывод дает описанная в условии задачи схема
Таким образом, использование схемы вполне обосновано.
8.4. Пользуясь старинным способом, приведенным в задаче 8.3, получаем схему
Отсюда делаем вывод, что золото 375-й пробы и 750-й пробы нужно сплавлять в отношении 250:125 = 2:1.
8.5. Столовый уксус из эссенции можно получить, разбавив ее водой, т. е. 0-процентным "уксусом". Применяя старинный способ (см. задачу 8.3), имеем схему
из которой получаем, что 9 частей эссенции нужно разбавить 71 частью воды, т. е. к 90 г эссенции следует добавить 
воды. В результате получится 90 + 710 = 800 г столового уксуса.
8.6. Если обозначить через а содержание соли в морской воде и воспользоваться старинным способом, то получится схема
Таким образом, пресную и морскую воду нужно смешивать в отношении 3a/5:2a/8 = 3:2, а, значит, к 4 кг морской воды нужно добавить 6 кг пресной.
8.7. Если использовать старинный способ, то получится схема
Следовательно, грузинский чай с индийским надо смешивать в отношении 
Для того чтобы обосновать полученный результат, достаточно убедиться в том, что использование старинного способа здесь правомерно. В самом деле, никакой принципиальной разницы нет в том, подсчитывать ли содержание какого-либо вещества в единице смеси или стоимость единицы смеси, т. е. количество денег, уплаченное в среднем за единицу смеси.
8.8. Пусть из 24 т руды выплавлено x т металла. Тогда количество тонн чистого металла (без каких бы то ни было примесей вообще) должно быть равно, с одной стороны, 0,6*24, а с другой - 0,96 х. Поэтому справедливо равенство
откуда получаем
8.9. Вначале сухое вещество (мякоть) арбуза составляла 1% массы, а после усыхания 2%. Это означает, что доля сухого вещества в арбузе удвоилась, следовательно, вдвое уменьшил свою массу и сам арбуз.
8.10. Обозначим через x искомое количество раз, в которое усыхают грибы. Тогда из а кг свежих грибов получается 
кг сухих грибов, в которых содержание 90 воды составляет 
Количество сухого вещества в грибах составляет 10% свежих грибов и 
сухих грибов. Следовательно, имеем равенство
откуда (x - 9)(x - 1) = 0, т. е. x = 9 (значение x = 1 не подходит к условию задачи, ибо оно не задает никакого усыхания).
8.11. Для получения раствора наибольшей концентрации нужно смешать наиболее концентрированные растворы кислоты, а именно: 100 г 70-процентной, 100 г 60-процентной, и 50 г 30-процентной. В 250 г полученного раствора будет содержаться 70 + 60 + 15 = 145 г чистой кислоты, что составляет 
Аналогично для получения раствора наименьшей концентрации нужно смешать 100 г 30-процентной, 100 г 60-процентной и 50 г 70-процентной кислоты. В результате этого образуется 250 г раствора, содержащего 30 + 60 + 35 = 125 г чистой кислоты, что составляет 
Пусть мы смешали x г первого раствора, y г второго и z г третьего. Тогда 250 г 55-процентного раствора могло получиться только в случае выполнения равенств
Выписанная система имеет бесконечно много решений, удовлетворяющих неравенствам 0≤y≤100, 0≤z≤100, 0≤x≤100. Действительно, после несложных преобразований этой системы имеем равносильную систему