9.8. Продолжим прямую АВ за точку В и отложим на ней точку С на расстоянии АВ от точки В. Кроме того, отложим на том же расстоянии от точки В еще две точки D и Е в двух разных, но не противоположных направлениях (рис. 11). Найдем точку F пересечения прямых АЕ и CD, а также точку G пересечения прямых AD и СЕ.
Рис. 11
Прямая FG перпендикулярна прямой АВ. Действительно, точки А, Е, D и С равноудалены от точки В, т. е. лежат на одной окружности с центром В и диаметром АС. Следовательно, вписанные углы ADC и АЕС прямые, поэтому AD и СЕ - высоты треугольника AFC. Так как все три высоты этого треугольника пересекаются в одной точке G, то прямая FG перпендикулярна стороне АС. Для того чтобы проложить перпендикуляр к прямой АВ через данную точку Я, достаточно теперь проложить через эту точку прямую, параллельную прямой FG (см. задачу 9.4).
9.9. Проложим перпендикуляр к прямой АВ (см. задачу 9.8), пересекающий в какой-то точке луч АВ. Без ограничения общности считаем для удобства, что эта точка пересечения и есть точка В. На перпендикуляре по разные стороны от точки В отложим точки С и F (рис. 12), удаленные от точки В на расстояние АВ. Тогда угол ВАС равен 45° (из равнобедренного прямоугольного треугольника ABC). На прямой AF отложим точку G на расстоянии АВ от точки А, а затем на прямой ВС отложим точку D на расстоянии CG от точки В. Тогда угол BAD равен 60Q, так как по теореме Пифагора для прямоугольных треугольников ABC, ACG и ABD имеют место равенства
Рис. 12
Для построения точки Е теперь остается проложить биссектрису угла BAD (см. задачу 9.7).
§ 10. Измерения при различных ограничениях
Для нахождения расстояний, высот, глубин или других размеров реальных объектов не всегда можно обойтись непосредственным их измерением - во многих случаях такие измерения сопряжены с определенными трудностями, а то и вообще практически невозможны. Однако в своей деятельности человеку приходится порой задумываться над тем, как все-таки можно определить интересующую его величину и как сделать это поточнее.
Вероятно, каждый из вас не раз задавал сам себе вопросы подобного рода, но вряд ли сходу находил на них ответы. В настоящем параграфе вам предлагается подумать над некоторыми наиболее типичными задачами. Советуем при их решении побеспокоиться о том, чтобы предлагаемый вами способ был действительно осуществим на практике и использовал минимум необходимых средств для построений (см. § 9), измерений и вычислений. Дело в том, что основными измерительными "приборами" для вас, которые всегда имеются "под рукой", будут являться: шаг, пядь (размах пальцев), сажень (размах рук), уровень глаз (расстояние от земли до глаз) и т. д. Не менее важно следить за надежностью вашего способа, т. е. зависимостью его точности от различных погрешностей, которые неизбежно возникают при работе на местности.
10.1. Длина шага Вы хотите определить длину своего шага, чтобы впоследствии измерять расстояния шагами. Самый простой и, казалось бы, точный способ состоит в том, чтобы сделать один шаг и измерить расстояние между крайними (наиболее удаленными) точками двух ступней. Такой способ явно не годится по двум причинам. Во-первых, расстояние между крайними точками ступней не равно длине шага, а превосходит ее на длину одной ступни (правильнее было бы измерить расстояние, например, между носками двух ступней). Во-вторых, при всем старании вы вряд ли сможете сделать один обычный шаг - для этого вам нужно оказаться в состоянии обычной ходьбы. Так, как же все-таки определить длину своего шага?
10.2. Размах пальцев Измеряя какие-либо длины пальцами руки, лучше не отрывать руку от измеряемой поверхности, а приставлять один палец к другому, который затем снова вытягивать в заданном направлении (описанный процесс отдаленно напоминает движение гусеницы). Найдите длину такого размаха своих пальцев.
10.3. В солнечный день Как по длине тени, падающей от дерева в солнечный день, определить высоту этого дерева?
10.4. С помощью снимка В вашем городе установлен большой памятник. К вам в руки попала почтовая карточка с фотографией этого памятника, сделанной с почтительного расстояния от него. Можно ли воспользоваться этим снимком для определения высоты памятника?
10.5. Препятствие на прямой Вам понадобилось измерить на местности расстояние между двумя объектами, разделенными зданием или другим препятствием, не позволяющим непосредственно проложить прямую между этими объектами. Как тем не менее можно произвести указанное измерение?