10.6. Слегка отклонив камыш и держа его в натянутом состоянии, замерим расстояние а между точками А и В, в которых камыш пересекает поверхность воды соответственно в вертикальном и наклоненном положении (рис. 14). Возвратим камыш в исходное состояние и определим высоту b над водой, на которую поднимется при этом точка В наклоненного камыша, заняв исходное положение С. Тогда, обозначив через D основание камыша, а через х - искомую глубину AD, из прямоугольного треугольника ABD находим
x2 + a2 = (x + b)2,
откуда 
Рис. 14
10.7. Установив вертикальный шест на некотором расстоянии от дерева, нужно стать в такую точку, из которой верхний конец шеста загораживает в точности верхушку дерева (рис. 15). Тогда, если высота части шеста над уровнем глаз равна а, а расстояния от глаз по горизонтали до шеста и до дерева равны b и y соответственно, то из подобия треугольников можно найти высоту х дерева над уровнем глаз. Наконец, зная свой рост h до уровня глаз, получаем полную высоту дерева
Рис. 15
Заметим, что вычисления и измерения можно упростить, если добиться равенства b = a, которое достигается выбором места установки шеста. Кроме того, можно лечь на землю, что позволит считать h = 0, а в результате высота дерева окажется равной x = y.
10.8. Встав в точку А на некотором расстоянии от пруда (рис. 16), можно расположить перед собой горизонтальную палку длины а так, чтобы расстояния от обоих ее концов до одного глаза (второй глаз при этом лучше закрыть) были равны одному и тому же значению b, а сами концы палки зрительно совместились с крайними точками пруда, видимыми из точки А. Тогда, измерив расстояние у от А до ближайшей точки пруда по прямой, проходящей через середину палки, можно вычислить радиус х пруда, а значит, и его диаметр 2х. Действительно, из подобия соответствующих прямоугольных треугольников находим
откуда 2bx = ах + аy, т. е. 
Заметим, что если добиться равенства b = а (что достигается выбором точки A), то коэффициент при y в последней формуле будет равен 1, а искомый диаметр пруда окажется равным 2x = 2y.
Рис. 16
10.9. Установим вертикальный шест на некотором расстоянии от здания и станем в такую точку, из которой верхушка шпиля зрительно совмещается с верхним концом шеста (рис. 17). Затем, пройдя некоторое расстояние в направлении от здания по прямой, на которой лежит первая точка и проекция А шпиля на горизонтальную плоскость, еще раз проделайте такую же операцию. Пусть высота шеста над уровнем глаз равна а, расстояние от глаз до шеста в первом положении оказалось равным b, а во втором с. Тогда, измерив расстояние у между точками В и С, в которых мы стояли в первом и во втором случаях, можно сосчитать высоту х шпиля над уровнем глаз. В самом деле, обозначим через z расстояние между точками А и В. Из подобия соответствующих треугольников имеем
откуда bx = az, cx = az + ay и cx - bx = ay, т. е.
Рис. 17
Коэффициент при y в последнем равенстве можно сделать равным 1, если в первом положении шеста добиться равенства b = а, а во втором - равенства с = 2а.
10.10. Глубину котлована можно измерить с помощью короткой палки. Для этого достаточно отыскать глазами на дне котлована какой-либо ориентир О и, встав на краю обрыва, установить палку горизонтально так, чтобы основание В палки оказалось на одной вертикали с глазами H, а другой ее конец А зрительно совместился с ориентиром О (рис. 18). Такую же операцию нужно проделать, лежа на краю обрыва и опустив основание С палки по той же вертикали ниже края обрыва. Измерив расстояния b и c от глаз до основания палки в первом и во втором положении соответственно, а также зная свой рост h до уровня глаз, можно вычислить глубину х котлована. Действительно, обозначим через y расстояние по горизонтали от ориентира до проекции края обрыва. Тогда из подобия соответствующих треугольников имеем
откуда 
Рис. 18
10.11. Выберем точку С на продолжении прямой АВ за точку В, а также точку D, не лежащую на прямой АВ (рис. 19). Затем выберем точки Е и F на продолжениях прямых BD и CD соответственно за точку D так, чтобы выполнялись равенства BD = DE, CD = DF. Наконец, найдем точку G пересечения прямых EF и AD. Тогда искомое расстояние между точками А а В будет равно длине отрезка EG. Действительно, из равенства треугольников BDC и EDF (по двум сторонам и углу между ними) имеем равенство углов CBD и FED. Поэтому треугольники BAD и EGD равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам), а значит, равны и их соответствующие стороны АВ и GE.