13.11. Скорость велосипедиста при попутном ветре, согласно условию задачи, равна - 1/3км/мин, а при встречном ветре - 1/5км/мин. Тогда собственная скорость велосипедиста равна полусумме двух указанных скоростей (см. решение задачи 13.9), а именно величине 
км/мин откуда получаем, что велосипедист в безветренную погоду проезжает 1 км за 3 минуты 45 секунд (но вовсе не за 4 минуты, как может показаться на первый взгляд!).
13.12. Пусть по пути в одну сторону автобус поднимается в гору на участках одного типа суммарной длины s1, а спускается с горы на участках другого типа суммарной длины s2. Тогда по пути в обратную сторону он будет, наоборот, спускаться с горы на участках первого типа и подниматься в гору на участках второго типа. Поэтому на проезд туда и обратно автобус затратит в общей сложности количество часов, равное
Отсюда получаем, что длина пути s1 + s2 между селениями равна 40 км.
13.13. Пусть эскалатор в неподвижном состоянии насчитывает х видимых ступенек. Обозначим через и нашу скорость, измеренную в таких необычных единицах, как ступеньки эскалатора в минуту, а через v скорость самого эскалатора в тех же единицах. Тогда, двигаясь в направлении движения эскалатора, вы находились на нем в течение 
минут, а двигаясь в обратном направлении,- в течение 
минут. Поэтому вы насчитали в первый раз 
ступенек, а во второй раз 
ступенек. Складывая равенства
получаем 
откуда
Таким образом, число видимых ступенек эскалатора в данном случае равно 50.
13.14. Данный пароход, вышедший из порта А, встретит во время плавания:
* во-первых, 10 пароходов, которые ранее вышли из порта В и еще находятся в море;
* во-вторых, тот пароход, который вышел из порта В одновременно с данным;
* в-третьих, еще 10 пароходов, которые выйдут из порта В в последующие дни.
Итого данный пароход встретит 21 пароход. Разумеется, то же самое можно сказать и о любом другом из упомянутых пароходов.
13.15. На весь путь из пункта А в пункт В и обратно один поезд затрачивает 4 часа 44 минуты, не считая стоянок на конечных пунктах A и В. За это время из начального пункта А должны отправиться еще 14 поездов, последний из которых должен выйти через 4 часа 40 минут после выхода первого поезда. Очередной поезд из пункта А должен отправиться через 5 часов после выхода первого поезда, и этот рейс может осуществить первый поезд, если он потратит на стоянки в пунктах А и В в общей сложности 16 минут. Таким образом, для обслуживания линии при данных условиях достаточно иметь 15 поездов, а меньшим числом поездов обойтись нельзя.
13.16. Пусть О - точка пересечения хорд АС и BD (рис. 44). Тогда треугольник АОВ подобен треугольнику DOC по двум углам: ∠AOB = ∠DOC (вертикальные углы) и ∠ ABD = ∠ ACD (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). Поэтому имеем равенство
в котором правая часть равна отношению скоростей катера и лодки. Следовательно, катер и лодка проходят расстояния АО и DO соответственно за одинаковое время. Таким образом, если бы они поменялись пунктами назначения, то оказались бы в точке О одновременно, т. е. попросту столкнулись бы.
13.17. Через t ч после начального момента первый корабль будет находиться от точки О на расстоянии |100 - 30t|км, а второй -на расстоянии |300 - 40t|км. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с вершинами в точках расположения кораблей и в точке О имеем, что квадрат расстояния между кораблями будет равен
(100 - 30t)2 + (100 - 40t)2 = (10000 -6000t + 900t2) +
+ (90000 - 24000t + 1600t2) = 2500t2 -30000 + 100000 =
= (50t)2 - 2*300*50t +3002 = (50t - 300)2 + 1002.
Анализ последнего выражения показывает, что наименьшее значение 1002 оно принимает при t = 6, следовательно, наименьшее расстояние между пароходами равно 100 км.
13.18. Рассмотрим движение одного корабля относительно другого и заметим, что оно является равномерным и прямолинейным, поскольку таковым является движение каждого из кораблей в отдельности. Таким образом, без ограничения общности можно считать, что один корабль покоится в некоторой точке A, а другой - точка В - движется по некоторой прямой линии со скоростью v (рис. 45). Опустим перпендикуляр АС на эту прямую и обозначим через а и b расстояния от кораблей до точки С в момент t = 6. Тогда в любой момент t эти расстояния будут равны а и |b - v(t - 6)|, а квадрат расстояния между кораблями будет равен