5.18. Вписанный пятиугольник Впишите в данную окружность правильный пятиугольник^
5.19. Звезда Как построить пятиконечную звезду?
5.20. Пятнадцатиугольник Впишите в данную окружность правильный пятнадцатиугольник.
5.21. Заданный пятиугольник Постройте правильный пятиугольник со стороной, равной заданному отрезку.
15.22. Приближенное построение семиугольника Нарисуем окружность и впишем в нее правильный треугольник. Затем, начиная от одной его вершины, последовательно сделаем на окружности шесть засечек раствором циркуля, равным половине стороны треугольника, и построим семиугольник с вершинами в полученных шести точках и в исходной точке.
Насколько точен предложенный способ построения правильного семиугольника?
15.23. Приближенное построение девятиугольника Проведем окружность большого радиуса G центром в точке О (рис. 47), которую разделим на шесть равных частей точками А1, А2, А3, А4, А5, А6. С центрами в точках А2, А4 и А6 проведем дуги окружностей того же радиуса, образующие фигуру из трех "лепестков". Радиус А1О разделим на три части и через ближайшую к точке О точку деления проведем прямую, перпендикулярную этому радиусу. Отрезок ее ВС, содержащийся внутри лепестка, примем за сторону десятиугольника, вписанного в окружность радиуса ОВ.
Рис. 47
Насколько точен предложенный способ построения правильного девятиугольника?
15.24. Приближенное построение n-угольника На диаметре АВ данной окружности как на стороне построим правильный треугольник АСВ (рис. 48). Возьмем на отрезке АВ точку D так, чтобы выполнялось равенство
Рис. 48
Продолжим отрезок CD до пересечения его о окружностью в точке Е. Хорду АЕ примем за сторону n-угольника, вписанного в данную окружность.
Насколько точен предложенный способ построения правильного n-угольника?
Решения
15.1. Если все я сторон вписанного я-угольника стягивают равные дуги окружности, то сами стороны равны между собой. Кроме того, в этом случае каждый из углов между соседними сторонами n-угольника является вписанным и опирается на дугу, составленную из n-2 упомянутых одинаковых дуг. Следовательно, все эти углы также равны между собой. Таким образом, задача построения вписанного правильного n-угольника сведена к делению окружности на я равных дур.
Если под рукой имеется транспортир, то с его помощью 360° можно начертить центральный угол, равный 
. Отложив один такой угол от какого-нибудь радиуса OA1, мы получим радиус ОА2. Отложив от него еще один такой же угол, мы получим следующий радиус OA3 и т. д. Точки A1, A2, ..., An будут делить окружность на n частей, а уж в какой степени эти части окажутся равными, будет зависеть от точности, с которой откладывались требуемые центральные углы.
При отсутствии транспортира можно применить следующий способ приближенного деления окружности на заданное число n равных частей с помощью циркуля. Выберем раствор циркуля на глаз таким, чтобы он примерно соответствовал расстоянию между соседними вершинами будущего n-угольника, и отложим от любой точки А6 на окружности n растворов циркуля в определенном направлении, получив последовательно точки A1, A2, ..., An. Если точки A0 и Аn практически совпадают, то раствор циркуля выбран нами уже достаточно точно. Если же эти точки сколь-нибудь заметно различаются, то дугу A0An разделим на n примерно равных частей и отметим ту точку деления A0, которая расположена ближе всего к точке A0 (рис. 49). Подправим раствор циркуля так, чтобы он соответствовал расстоянию между точками A'0 и A'1, и повторим все сначала, отложив n растворов циркуля от точки A'0 и получив точки A'1, A'2, ..., A'n. Сравнив точки A'0 и A'n, мы опять выясним, достаточно ли точным оказался раствор циркуля. Если еще нет, то подправим его еще раз и т. д. до тех пор, пока нужная точность не будет достигнута.
Рис. 49
15.2. Пусть A1, A2, ..., Akm - последовательные вершины исходного многоугольника. Тогда многоугольник с вершинами A1, A2, ..., Akm будет правильным, поскольку эти вершины лежат на одной окружности (описанной около исходного многоугольника) и делят ее на равные дуги.