15.3. Проведем к каждой стороне данного многоугольника свой серединный перпендикуляр до его пересечения о дугой окружности, стягиваемой этой стороной. Так как полученные точки пересечения разделят каждую из дуг на две равные части, то эти точки вместе с вершинами исходного многоугольника образуют вершины требуемого многоугольника.
15.4. Пусть АВ - заданный отрезок. Проведем две дуги окружностей с центрами в точках A и B и радиусом AВ до пересечения их в точке С. Соединив точки A и B с точкой С, получим требуемый правильный треугольник ABC.
15.5. Возьмем на данной окружности с центром О произвольную точку A и раствором циркуля, равным ОА, отложим на окружности последовательно еще пять точек В, C, D, Е и F. Точки A, В, С, D, Е и F являются вершинами правильного шестиугольника. В самом деле, соединив эти точки последовательно друг с другом и с точкой О, мы получим пять равносторонних треугольников (рис. 50). Так как каждый из углов АОВ, ВОС, COD, DOE, EOF равен по 60°, то угол AOF также равен 60°, а, значит, окружность разделена на шесть равных дуг.
Рис. 50
15.6. Раствором циркуля, равным длине данного отрезка, проведем окружность. Вписав в эту окружность шестиугольник способом, предложенным в решении задачи 15.5, мы получим правильный шестиугольник с заданной стороной.
15.7. Разделим данную окружность на шесть равных частей (см. задачу 15.5) и точки деления через одну последовательно соединим хордами. Получим правильный треугольник (см. задачу 15.2).
15.8. Из концов данного отрезка АВ восставим перпендикуляры AM и BN по одну сторону от отрезка АВ (рис. 51) и отложим на них соответственно отрезки AD и ВС, равные отрезку АВ, Соединив точки С и D, получим квадрат ADCB. В самом деле, четырехугольник ADCB является параллелограммом (ибо его стороны AD и ВС равны и параллельны), ромбом (ибо АВ = ВС) и прямоугольником (ибо ∠ ABC = 90°), а значит, квадратом.
Рис. 51
15.9. Через центр окружности проведем два взаимно перпендикулярных диаметра АС и BD и их концы последовательно соединим хордами. Получим вписанный квадрат ABCD. Действительно, дуги АВ, ВС, CD и AD равны между собой, поскольку на них опираются равные центральные углы в 90° каждый.
15.10. Впишем в данную окружность квадрат (см. задачу 15.9) и удвоим число его сторон (см. задачу 15.3).
15.11. Удвоив число сторон правильного вписанного в данную окружность шестиугольника, мы получим правильный двенадцатиугольник, вписанный в ту же окружность (см. задачи 15.5 и 15.3).
15.12. Удвоив число сторон правильного вписанного в данную окружность восьмиугольника, мы получим правильный шестнадцатиугольник, вписанный в ту же окружность (см. задачи 15.10 и 15.3).
15.13. Из середины С данного отрезка АВ (рис. 52) восставим перпендикуляр и отложим на нем отрезок CD, равный 1/2 АВ. Затем на его продолжении отложим отрезок DO, равный AD. Тогда отрезок АО является радиусом окружности, описанной около правильного восьмиугольника со стороной АВ.
Рис. 52
В самом деле, найдем величину угла АОС. Так как АС = CD, то треугольник ACD равнобедренный, и так как он прямоугольный, то угол ADC равен 45°. Поскольку AD = DO, то треугольник ADO равнобедренный и угол AOD равен 
и, следовательно, угол АОВ равен 45°, т. е. дуга АВ есть 1/8 часть окружности.
Теперь на окружности радиуса АО от любой точки последовательно отложим семь дуг, каждая из которых равна дуге АВ. Получим вершины правильного восьмиугольника.
15.14. Построим равносторонний треугольник АСВ со стороной, равной данному отрезку АВ. Через точку С проведем прямую, перпендикулярную отрезку АВ. Отложим на этой прямой отрезок СО, равный АВ (рис. 53). Тогда отрезок АО является радиусом окружности, описанной около правильного двенадцатиугольника со стороной АВ. Для подтверждения этого достаточно доказать, что угол АОВ равен 30°. Точка С равноудалена от точек А, В и О, т. е. является центром окружности, описанной около треугольника АОВ. Поэтому 
Рис. 53
Теперь на окружности радиуса AО от любой точки последовательно отложим 11 дуг, каждая из которых равна дуге АВ. Получим вершины правильного двенадцатиугольника.
15.15. Из середины С отрезка АВ восставим перпендикуляр (рис. 54) и на нем отложим отрезок CD9 равный 1/2 АВ, затем отрезок DE, равный AD, и отрезок ВО, равный АЕ. Тогда отрезок АО является радиусом окружности, описанной около правильного шестнадцатиугольника со стороной АВ.