Рис. 59
15.22. Построенный семиугольник не является правильным. В самом деле, пусть О - центр окружности, точка D - середина стороны АВ правильного треугольника, а точка Е - первая из засечек, сделанных на окружности радиусом 
(рис. 60). Найдем величину α угла АОЕ.
Рис. 60
Пусть R - радиус окружности, тогда 
Из равнобедренного треугольника АОЕ имеем
откуда
По таблицам синусов находим, что
Центральный угол β опирающегося на сторону правильного семиугольника равен 360°/7, т. е.
Следовательно, построенный семиугольник не является правильным. Однако из приведенных неравенств следует,
что
а значит, в результате шести откладываний дуги АЕ на окружности погрешность построений хотя и будет накапливаться, но не превзойдет 6(β - α)<42'<1°. Таким образом, описанный способ позволяет строить "практически правильный" семиугольник.
15.23. Пусть D-точка пересечения отрезков ВС и OA1, Е - середина отрезка ОА1, a CF - перпендикуляр к прямой A1E (рис. 61). Тогда если OA1 = R, то 
а из прямоугольных треугольников А2ОЕ и A2CF имеем
откуда получаем
Рис. 61
По таблицам тангенсов находим
поэтому центральный угол BОС, который должен составлять у правильного девятиугольника 40°, в нашем случае отличается от нужного значения не более чем на 25'. При этом погрешность у остальных углов также не превосходит 25': два других "лепестка" дают такие же углы, а углы между "лепестками" просто делятся пополам, отчего погрешность лишь уменьшается в два раза. Таким образом, полученный девятиугольник является "практически правильным".
15.24. Заметим, что при n = 3, 4, 6 предложенный метод дает правильные n-угольники. Пусть О - центр данной окружности, R - ее радиус, EF - перпендикуляр к диаметру АВ (рис. 62). Тогда при n>4 справедливы равенства
Рис. 62
Для угла 
имеем
а из подобия треугольников DOC и DFE получаем
откуда после преобразований находим
Подставляя в эту формулу значения n = 5, 7, 8, 9, 10, получаем следующие углы:
Сравнение с истинными значениями центральных углов, каковыми являются соответственно углы 72°, 513/7° ≈51°26', 45°, 40°, 36°, показывает, что при n≤7 метод дает исключительно высокую точность, а с ростом n погрешность растет. Однако преимущество этого метода состоит в том, что его можно единообразно использовать при различных значениях n.
§ 16. Построения на клетчатой бумаге
С бумагой в клетку каждый из вас имеет дело практически с первых дней изучения математики, а может быть, и раньше. Однако вы вряд ли представляете себе, насколько мощным инструментом для геометрических построений является наличие на бумаге квадратной сетки.
Условимся, пользуясь вольностью речи, разделять линии сетки на два вида: горизонтальные и вертикальные. Горизонтальными будем считать все параллельные линии сетки, имеющие какое-то фиксированное направление, а вертикальными - все остальные параллельные линии сетки, перпендикулярные горизонтальным. Точки пересечения линий сетки будем называть узлами, а расстояние между соседними узлами на одной линии - шагом сетки, причем по определению длину шага примем за единицу.
Важную роль при построениях на клетчатой бумаге играет возможность расположить фигуру так, чтобы все ее вершины или как можно большее их количество оказались в узлах сетки. В таких случаях построение некоторых точек фигуры иногда можно выполнить без каких-либо чертежных инструментов, а лишь о помощью подсчета числа шагов вдоль линий сетки. Заметим, что любой отрезок с концами в узлах сетки задается двумя своими проекциями - горизонтальной и вертикальной (т. е. его проекциями на некоторые горизонтальную и вертикальную линии сетки соответственно).