При решении задач настоящего параграфа стоит задумываться о том, чтобы предложенные вами способы построения использовали минимум технических средств. Если уж вам приходится применять, скажем, линейку, то только для проведения прямых линий между двумя заданными точками, но никак не для измерения расстояний между этими точками. Ну и, конечно, никому еще не повредило умение делать рисунки на бумаге от руки, даже рисовать окружности - ив этом деле, как мы увидим ниже, также помогает знание математики.
16.1. Середина отрезка На клетчатой бумаге нарисован отрезок, концы которого находятся в узлах сетки. Вам нужно найти его середину. Укажите, при каких положениях отрезка это можно сделать, не проводя дополнительных линий, а используя лишь точки пересечения отрезка с линиями сетки?
Как с помощью линейки найти середину отрезка при других его положениях?
16.2. Симметрия относительно точки Как проще всего найти точку, симметричную данному узлу сетки относительно другого данного узла сетки? Будет ли эта точка также узлом сетки?
16.3. На n частей Как разделить на заданное число n равных частей данный отрезок с концами в узлах сетки, пользуясь разве только линейкой?
16.4. Медианы треугольника В данном треугольнике с вершинами в узлах сетки проведите медианы, пользуясь одной лишь линейкой.
Обязательно ли точка пересечения медиан является узлом сетки?
16.5. Параллельный перенос Точки А, В и С находятся в узлах сетки. Не проводя никаких линий, параллельно перенесите точку С на вектор 
.
Будет ли полученная в результате точка узлом сетки?
16.6. Середина третьей стороны Докажите, что если какая-то вершина треугольника и середины двух прилежащих к ней сторон находятся в узлах сетки, то и середина третьей стороны также совпадает с одним из узлов сетки.
16.7. Параллельные прямые Через заданный узел сетки с помощью одной линейки проведите прямую, параллельную данной прямой, проходящей через два данных узла сетки. Отразите проведенную прямую симметрично относительно той же данной прямой.
16.8. Поворот на 90° Не проводя никаких линий, найдите точку, которая получится, если повернуть данный узел сетки вокруг другого данного узла сетки на угол 90°.
16.9. Вершины квадрата Докажите, что если две заданные соседние вершины квадрата находятся в узлах сетки, то и остальные две его вершины также должны находиться в узлах сетки.
Найдите эти вершины, не проводя никаких линий.
16.10. Перпендикуляр к прямой С помощью одной линейки через заданный узел сетки проведите прямую, перпендикулярную данному отрезку с концами в узлах сетки.
16.11. Симметрия относительно прямой Пользуясь одной лишь линейкой, отразите симметрично заданный узел сетки относительно данной прямой, проходящей через два данных узла сетки. Будет ли полученная в результате точка узлом сетки?
16.12. Рациональный тангенс Докажите, что проходящая через некоторый узел сетки прямая содержит еще хотя бы один узел тогда и только тогда, когда она образует с какой-нибудь линией сетки угол, тангенс которого является рациональным числом.
16.13. Без транспортира Найдите величину угла ABC, изображенного на рис. 63. Пользуясь полученным значением, сообразите в уме, чему равна сумма 
Рис. 63
16.14. С помощью клетчатой бумаги На середине стороны АВ квадрата ABCD взята точка Е, а на диагонали АС - точка F, делящая диагональ в отношении AF:FC = 3:1 (рис. 64). Найдите угол DFE и отношение DF:FE.
Рис. 64
16.15. Геометрия помогает тригонометрии Расположив на клетчатой бумаге угол DFE, описанный в задаче 16.14 и изображенный на рис. 64, подберите на луче FE несколько узлов сетки так, чтобы продемонстрировать равенства
16.16. Тангенсы углов треугольника Докажите, что если вершины треугольника лежат в узлах сетки, то тангенс любого непрямого угла этого треугольника является рациональным числом.
16.17. Другие повороты Прямая проходит через два заданных узла сетки. Предложите способ, как повернуть указанную прямую вокруг одного из этих узлов на угол, тангенс которого равен данному рациональному числу.
16.18. Правильный треугольник Докажите, что все вершины равностороннего треугольника не могут одновременно лежать в узлах сетки.
16.19. Правильный шестиугольник Могут ли все вершины правильного шестиугольника одновременно лежать в узлах сетки?