16.20. Одной окружностью Вы хотите разметить циркулем на клетчатой бумаге вершины правильного шестиугольника. Пользуясь циркулем, вы, конечно, всегда сможете это сделать на любой бумаге (см. задачу 15.5). Нельзя ли, однако, воспользоваться имеющейся сеткой с тем, чтобы после проведения специально подобранной вами окружности линии сетки сами указали вам на окружности вершины правильного шестиугольника?
16.21. Квадрат по трем линиям сетки На клетчатой бумаге требуется разметить вершины квадрата таким образом, чтобы три из них лежали соответственно на трех заданных параллельных линиях сетки. Как это сделать, не проводя никаких дополнительных линий?
Можно ли, кроме того, обеспечить попадание также и четвертой вершины квадрата на какую-нибудь из трех указанных линий?
16.22. Правильный многоугольник При каких значениях n все вершины правильного n-угольника могут одновременно лежать в узлах сетки?
16.23. С горизонтальной гипотенузой Если вам приходилось рисовать на клетчатой бумаге прямоугольные треугольники, то, наверняка, порядком наскучило располагать их катеты по линиям сетки. Можно ли построить такой прямоугольный треугольник со всеми вершинами в узлах сетки, чтобы на линии сетки оказалась его гипотенуза?
Равнобедренный прямоугольный треугольник так расположить довольно несложно. Укажите способ построения всех таких треугольников.
16.24. Окружность от руки Для проведения без циркуля какой-нибудь окружности на клетчатой бумаге, можно воспользоваться тем, что окружность с центром в узле сетки и радиусом 5 проходит через 12 узлов, изображенных на рис. 65. Докажите этот факт.
Рис. 65
Существует ли окружность с центром в узле сетки и целым радиусом, меньшим 5, также содержащая более 4 узлов?
16.25. Окружность с 20 узлами Какого наименьшего целого радиуса должна быть окружность с центром в узле сетки, содержащая более 12 узлов? Нарисуйте хотя бы четверть этой окружности.
Решения
16.1. Если хотя бы одна из проекций данного отрезка А В - горизонтальная АС или вертикальная AD - имеет четную длину, не равную, однако, нулю, то середина Е отрезка А В лежит на его пересечении с линией сетки, проходящей через середину F этой проекции перпендикулярно ей (рис. 66).
Рис. 66
Если обе указанные проекции имеют четную длину, то середина отрезка даже совпадает с некоторым узлом сетки (рис. 67).
Рис. 67
Если же ни одна из проекций не имеет четной положительной длины, то можно отступить от одного конца отрезка АВ на несколько клеток в одну сторону, от другого конца на столько же клеток в противоположную сторону и провести прямую через полученные точки С и D (рис. 68). Точка пересечения этой прямой с исходным отрезком и будет его серединой. Это вытекает из того факта, что четырехугольник АОВС является параллелограммом, ибо имеет пару равных и параллельных противоположных сторон АС и DB (точки С и D, конечно, всегда можно выбрать не лежащими на прямой АВ).
Рис. 68
16.2. Для того чтобы отразить узел А симметрично относительно узла Е, достаточно сосчитать по клеточкам длину горизонтальной проекции AF отрезка АЕ и длину вертикальной проекции FE этого же отрезка. После этого останется отложить от точки Е в вертикальном направлении точку G и от нее в горизонтальном направлении точку В так, чтобы выполнялись равенства 
(рис. 67). Симметричность точек А и В относительно точки Е вытекает из равенства прямоугольных треугольников AFE и BGE (по двум катетам). Из построения ясно, что точка Е обязательно является узлом сетки.
16.3. Как и в задаче 16.1, ситуация сильно упрощается, если хотя бы одна из проекций данного отрезка АВ положительна и кратна заданному числу n. В этом случае достаточно найти точки пересечения отрезка с линиями сетки, делящими указанную проекцию на n равных частей. Таким способом можно разделить отрезок АВ, изображенный на рис. 69, как на 5, так и на 7 равных частей. Но вот для деления того же отрезка, скажем, на n = 6 равных частей одних лишь линий сетки не хватает. Для этого можно поступить следующим образом: отложим от точки А в одном направлении на равных расстояниях друг от друга точки А1, А2 ... An-1 (на рис. 69 точки А1, ... An расположены в подряд идущих узлах сетки), а от точки В в противоположном направлении на тех же расстояниях друг от друга точки B1, B2 ... Bn-1 (на рис. 69 это точки B1, ... B5). Соединив прямыми линиями попарно А1 и Вn-1, A2 и Вn-2, ..., An-1 и B1, мы разделим этими прямыми отрезок AВ на n равных частей, поскольку все полуденные прямые параллельны, так как являются сторонами соответствующих параллелограммов) и отстоят друг от друга на равных расстояниях.