Рис. 69
16.4. Пользуясь методами, изложенными в решении задачи 16.1, можно построить середины сторон треугольника АВС, а затем провести его медианы. Точка Е пересечения медиан не обязательно попадает в узел, даже если середины всех трех сторон треугольника являются узлами сетки (рис. 70). Можно доказать, что это попадание произойдет тогда и только тогда, когда сумма горизонтальных, равно как и сумма вертикальных проекций векторов 
кратна 3.
Рис. 70
16.5. Сосчитаем по клеточкам длину горизонтальной проекции AE и вертикальной проекции EB вектора 
после этого точку С перенесем по горизонтали в точку F, которую затем перенесем по вертикали в точку D так, чтобы выполнялись равенства 
(рис.71). Тогда из равенства прямоугольных треугольников ABE и CDF и параллельности их соответствующих катетов следует равенство и параллельность их гипотенуз АВ и CD. Таким образом, имеем требуемое равенство 
Из построения ясно, что точка D совпадает с узлом сетки.
Рис. 71
Заметим, что точку D можно было построить и по-другому: параллельно перенеся точку В на вектор 
16.6. В силу параллельности средних линий треугольника ABC соответствующим его сторонам получаем, что середины D, Е и F сторон АВ, ВС и СА этого треугольника образуют вместе с вершиной А параллелограмм ADEF (рис. 72). Поэтому, если три его вершины A, D и F находятся в узлах сетки, то четвертая вершина, будучи результатом параллельного переноса точки D на вектор 
также совпадает с узлом сетки (см. задачу 16.5).
Рис. 72
16.7. Пусть данная прямая проходит через узлы А и В, чтобы провести через данный узел С прямую, параллельную прямой АВ, достаточно параллельно перенести точку В на вектор (см. задачу 16.5) и через полученную точку D провести прямую CD.
Для симметричного отражения прямой CD относительно прямой АВ можно затем параллельно перенести точки A и В на вектор 
и провести через полученные точки G и H прямую. Хотя точки G и Н, вообще говоря, не симметричны точкам С и D относительно прямой АВ, но прямая GH параллельна прямой АВ и отстоит от нее на том же расстоянии, что и прямая CD (рис. 73).
Рис. 73
16.8. Чтобы повернуть точку А вокруг точки В в данном направлении на угол 90°, можно поступить следующим образом: сосчитать по клеточкам длину горизонтальной проекции ВС и вертикальной проекции СА отрезка AB, а затем отложить от точки В по вертикали точку D, а от нее по горизонтали точку L так, чтобы выполнялись равенства BC = BD и CA = DE (рис. 74). Тогда полученная точка Е и будет результатом указанного поворота точки Л, если, конечно, каждый из катетов BD и DE прямоугольного треугольника BDE является результатом поворота вокруг точки В катетов ВС и СА соответственно прямоугольного треугольника ВСА именно в том направлении, в котором требовалось (на рис. 74 - это направление против часовой стрелки). Равенство АВ = ВЕ вытекает из равенства упомянутых прямоугольных треугольников (по двум катетам), а перпендикулярность отрезков АВ и BE является следствием соотношения ∠ ABE = ∠ ABD + ∠ DBE = ∠ DBA + ∠ ABC = ∠DBC = 90°.
Рис. 74
16.9. Повернем одну из двух данных вершин А или В, скажем А, вокруг вершины В на угол 90°, затем вершину В вокруг полученной точки С на угол 90° в том же направлении (рис. 75). Полученная в результате точка D вместе с точкой С и двумя данными вершинами А и В образует вершины квадрата (поскольку четырехугольник ABCD, согласно построению, является параллелограммом с прямым углом при вершине В и равными соседними сторонами АВ и ВС). Попутно мы доказали, что вершины С и D искомого квадрата находятся в узлах сетки, так как они являются; результатом поворота, описанного в решении задачи 16.8.
Рис. 75
16.10. Во-первых, повернем один конец А данного отрезка АВ на угол 90° вокруг другого его конца В в любом направлении (см. задачу 16.8) и получим в результате точку С. Во-вторых, параллельно перенесем заданную точку D на вектор