16.17. Пусть прямая проходит через узлы В и С, а повернуть ее нужно вокруг узла В на угол с данным рациональным тангенсом α. Один из способов это сделать состоит в том, чтобы определить по узлам В и С тангенс β угла наклона прямой ВС к горизонтальному (или вертикальному) лучу BD, а затем найти тангенс γ угла наклона искомой прямой к тому же лучу по формуле
Поскольку полученный тангенс будет также рациональным числом (в случае 1 - αβ = 0 искомая прямая должна быть перпендикулярной к прямой BD), то некоторый узел В можно построить по значению у так, чтобы выполнялось равенство tg ∠ ABD = γ. Например, на рис. 81 показано, что получится, если прямую ВС повернуть на угол, тангенс которого равен α = 8: так как 
, то 
(знак минус у последнего тангенса означает, что угол ABD тупой).
16.18. Если бы все вершины равностороннего треугольника одновременно лежали в узлах сетки, то, согласно утверждению задачи 16.16, углы при вершинах этого треугольника имели бы рациональные тангенсы; Однако хорошо известно, что это не так: 
- иррациональное число.
16.19. Все вершины правильного шестиугольника одновременно не могут лежать в узлах сетки, поскольку три его вершины, взятые через одну, являются вершинами правильного треугольника и уже эти три вершины не могут оказаться в узлах (см. задачу 16.18), а тем более все шесть вершин.
16.20. Проведем окружность с центром в узле О сетки и четным радиусом (рис. 82). Тогда две диаметрально противоположные вершины А и D шестиугольника молено взять на горизонтальной линии сетки, проходящей через точку О (рис. 82). Еще две вершины В и F можно взять на вертикальной линии сетки, проходящей через середину H радиуса ОA, и, наконец, последние две вершины С и Е - на вертикальной линии, проходящей через середину G радиуса OD. Точки A, В, С, D, В, F являются вершинами правильного шестиугольника, поскольку угол АОВ равен 60° (из прямоугольного треугольника ВОН с гипотенузой ОВ, вдвое большей катета ОН), аналогично по 60° равны и углы AOF, COD, EOD. Следовательно, равные (симметричные относительно прямой AD) углы ВОС и EOF, в сумме составляющие 360° - 4*60° = 120°, также равны по 60°.
Рис. 82
16.21. Пусть три заданные линии сетки для определенности горизонтальны. Тогда рассмотрим вертикальную линию, которая пересекает их в точках A, В и С (рис. 83). Отложим от точки С по горизонтали точки D и Е так, чтобы выполнялись равенства CD = AB, DE = BC. Затем аналогично отложим от точки Е по вертикали точки F и G, а от точки G по горизонтали точку H, для которой GH = AB. Тогда точки В, D, F, Н являются вершинами квадрата (см. задачу 16.9), причем три из них В, D, H лежат на заданных линиях сетки.
Рис. 83
Для попадания четвертой вершины квадрата на одну из этих трех линий сетки необходимо и достаточно, чтобы средняя из линий была равноудалена от двух крайних, т. е. чтобы на рис. 83 выполнялось равенство АВ = ВС (четвертая вершина может находиться только на средней линии, которая тогда должна содержать диагональ квадрата со всеми вытекающими отсюда последствиями).
16.22. Докажем, что ни при каких значениях п, кроме л=4, правильный я-угольник не может иметь все вершины в узлах сетки. Случаи n = 3 и n = 6 рассмотрены в задачах 16.18 и 16.19. Пусть некоторый правильный n-угольник при n = 5 или n>6 все же удовлетворяет требованию задачи. Проведем в нем все; диагонали, соединяющие каждые две вершины, между которыми находятся ровно две вершины n-угольника (рис. 84). Тогда внутри рассматриваемого многоугольника образуется меньший, тоже правильный n-угольник, ограниченный проведенными диагоналями. При этом вершины меньшего многоугольника будут также лежать в узлах сетки, поскольку каждая из них будет являться четвертой вершиной параллелограмма (см. задачу 16.5), образованного некоторыми соседними сторонами большего многоугольника и параллельными им диагоналями: на рис. 84 таким параллелограммом является, например, четырехугольник АВСА'. Применив к меньшему многоугольнику те же рассуждения, мы получим еще меньший многоугольник, затем еще меньший и т. д. Однако этот процесс не может неограниченно продолжаться, так как сторона многоугольника при каждом уменьшении умножается на определенное число, меньшее 1, а значит, рано или поздно станет сама меньше шага сетки, что приведет нас к противоречию. Итак, сделанное выше предположение себя не оправдало.
Рис. 84