18.8. Перегибания квадрата Какое наименьшее количество раз необходимо перегнуть четырехугольный кусок материи, чтобы убедиться в том, что он имеет форму квадрата?
18.9. Перегибания круга Кусок материи перегнули по некоторой линии и убедились в точном совмещении двух образовавшихся в результате частей. Затем материю развернули, перегнули по некоторой другой линии и снова убедились в совмещении частей и т. д. Можно ли после нескольких таких проверок гарантировать, что этот кусок материи имеет форму круга?
18.10. Параллельность прямых Можно ли с помощью перегибаний куска материи убедиться в том, что два края этого куска параллельны? Как установить, имеет ли данный кусок материи форму трапеции или параллелограмма?
18.11. Перпендикулярность прямых Кусок материи имеет форму треугольника. Как, перегибая материю, установить, является ли этот треугольник прямоугольным, остроугольным или тупоугольным?
18.12. Вертикальность шеста На недоступном для вас возвышении установлен длинный шест. Как с помощью отвеса проверить его вертикальность?
18.13. Вогнутость и выпуклость поверхности Для того чтобы проверить, нет ли на гладкой поверхности стола каких-либо вогнутостей, можно натянуть руками обыкновенную нитку и, прижимая пальцами ее концы к разным точкам стола, установить, нет ли просвета между ниткой и поверхностью (рис. 111).
Рис. 111
На чем основана эта проверка? Годится ли она для отыскания на гладкой поверхности стола каких-либо выпуклостей?
18.14. Перпендикулярность плоскостей Вы хотите проверить, перпендикулярны ли друг другу соседние стены в вашей комнате. Как воспользоваться для этого теоремой Пифагора?
18.15. Параллельность плоскостей Вы хотите проверить, параллельны ли друг другу стены коридора. Нельзя ли это сделать с помощью измерительной ленты или просто достаточно длинной палки?
18.16. Признаки трапеции Какие из следующих действий имеет смысл выполнить, чтобы однозначно установить параллельность двух данных противоположных сторон четырехугольника:
а) соединить отрезком середины двух данных сторон и убедиться в том, что этот отрезок проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника;
б) проверить, что полусумма двух данных сторон равна расстоянию между серединами двух других сторон четырехугольника?
Используя ответ на предыдущий вопрос задачи, придумайте способ проверки того, что данный четырехугольник является трапецией.
18.17. Признаки параллелограмма Какие из следующих свойств четырехугольника выполнены в том и только в том случае, если этот четырехугольник является параллелограммом:
а) противоположные стороны четырехугольника попарно равны;
б) две противоположные стороны четырехугольника равны, а две другие его стороны параллельны;
в) каждая из диагоналей четырехугольника делится точкой их пересечения пополам?
18.18. Ромб ли это? На плоскости даны четыре точки А, В, С, D, про которые известно только, что AB = BC = CD = DA. Можно ли утверждать, что точки А, В, С, D являются вершинами некоторого ромба?
18.19. Признаки прямоугольника Достаточно ли для проверки того, что все углы данного четырехугольника являются прямыми, установить одно из следующих свойств:
а) равенство двух противоположных сторон четырехугольника и равенство его диагоналей;
б) попарное равенство противоположных сторон и равенство его диагоналей;
в) равенство всех четырех отрезков, на которые разбиваются диагонали четырехугольника точкой их пересечения?
18.20. Признаки квадрата Какие из следующих свойств четырехугольника выполнены в том и только в том случае, если этот четырехугольник является квадратом:
а) равенство всех четырех сторон четырехугольника;
б) равенство всех четырех сторон четырехугольника и равенство его диагоналей;
в) равенство трех сторон четырехугольника и равенство его диагоналей?
18.21. Правильность равностороннего многоугольника Пусть все стороны многоугольника равны между собой. Будет ли он обязательно правильным, если выполнено одно из следующих условий:
а) около этого многоугольника можно описать окружность;
б) в этот многоугольник можно вписать окружность?
18.22. По одним лишь диагоналям Верно ли, что если в пятиугольнике равны все пять диагоналей, то он является правильным?