Для обоснования этого способа проверки заметим, во-первых, что вертикальный шест должен лежать в одной плоскости с любой вертикальной прямой, а, во-вторых, если две параллельные прямые лежат в двух пересекающихся плоскостях соответственно, то эти прямые параллельны и линии пересечения плоскостей.
18.13. Проверка основана на свойстве плоскости содержать вместе с любыми двумя точками прямую, через них проходящую. Однако описанная проверка не позволяет отличить выпуклую поверхность от ровной, так как и у той, и у другой поверхности не будет никакого просвета с ниткой (просвет был бы возможен, если бы нитка могла пройти сквозь поверхность). Для исправления этой проверки можно предложить контролировать себя легким поднятием одного конца нитки: если при этом нитка прикасается к плоскости только другим своим концом, то выпуклости не наблюдается, если же она прикасается где-то в промежуточной точке между концами, то выпуклость есть (рис. 122).
Рис. 122
18.14. Будем предполагать, что стены в комнате вертикальны, а пол горизонтален (рис. 123). Отложим по нижнему краю стен от точки А, лежащей на линии их пересечения, отрезки АВ и АС длиной 3 и 4 произвольных единицы, например, дециметров. Тогда угол ВАС, представляющий собой линейный угол двугранного угла между стенами, будет прямым тогда и только тогда, когда длина отрезка ВС равна 5 единицам (если вас заинтересует вопрос о существовании других целочисленных прямоугольных треугольников, то читайте § 7).
Рис. 123
18.15. Будем предполагать, что стены коридора вертикальны. Выберем у нижнего края каждой из двух стен по одной точке А и В и отложим от этих точек вдоль нижнего края стен (рис. 124) в одном направлении отрезки BD к АС одинаковой длины, например длины АВ. Тогда если отрезки АВ и CD равны, то стены параллельны, а если эти отрезки не равны, то и стены не параллельны.
Рис. 124
В самом деле, из равенств AB = CD и AC = BD следует, что четырехугольник ABDC - параллелограмм, откуда стороны АС и BD параллельны. С другой стороны, если отрезки АС и BD параллельны, то из равенства AC = BD следует, что четырехугольник ABDC - параллелограмм и АВ = СD. Наконец, так как плоскости стен вертикальны, то их параллельность имеет место тогда и только тогда, когда они пересекаются с невертикальной плоскостью пола по параллельным прямым.
18.16. Действия, описанные в п. а), позволяют однозначно установить параллельность двух данных сторон AD и ВС четырехугольника ABCD. Действительно, если AD||BC, О - точка пересечения диагоналей, Е - середина отрезка AD, F - точка пересечения прямых ЕО и ВС (рис. 125), то ∠ OAD = ∠ OCB, ∠ ODA = ∠ OBC, ∠ AOE = ∠COF, ∠ DOE = ∠BOF, откуда получаем, что треугольники АОЕ и COF, а также треугольники DOE и BOF подобны. Поэтому имеем пропорции
и так как AE = DE, то CF = BF, Это означает, что отрезок EF, соединяющий середины параллельных сторон AD и СВ, проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD.
Рис. 125
Докажем теперь, что отрезок EG, соединяющий середины непараллельных сторон AD и СН, не проходит через точку О пересечения его диагоналей четырехугольника ADCH (рис. 125). Пусть, напротив, этот отрезок проходит через точку О. Тогда через точку С проведем прямую, параллельную прямой AD, до пересечения в точке В с прямой DH. По доказанному выше имеем CF = BF, а с другой стороны, CG = GH, поэтому FG - средняя линия треугольника СВН, которая не может пересекать соответствующую ей прямую ВН в точке О, что противоречит предположению.
Докажем, что действия п. б) условия задачи также однозначно отвечают на вопрос о параллельности сторон AD и СВ четырехугольника ABCD, В самом деле, пусть точка G - середина диагонали АС. Тогда отрезок EF, соединяющий середины сторон АВ и DC, равен полусумме сторон AD и СВ, т. е. сумме отрезков EG и FG - средних линий треугольников АСВ и ADC, в том и только в том случае, если точка G принадлежит отрезку EF (рис. 126). Поскольку EG||BC и FG||AD, то последнее условие равносильно параллельности отрезка EF сразу двум отрезкам ВС и AD, т. е. параллельности самих сторон AD и СВ, что и требовалось доказать.
Рис. 126
Таким образом, для проверки того, что данный четырехугольник ABCD является трапецией, достаточно соединить отрезком середины двух его противоположных сторон и проверить ровно одно из двух условий: либо этот отрезок равен полусумме двух других сторон четырехугольника (которые тогда как раз и будут основаниями трапеции, а в противном случае ими будут другие стороны), либо этот отрезок проходит через точку пересечения диагоналей. Если оба условия одновременно окажутся выполненными, то четырехугольник ABCD есть не трапеция, а параллелограмм.