Рис. 171
19.87. Пусть требуется провести разрез через вершину А четырехугольника ABCD. Через середину О диагонали BD проведем прямую, параллельную другой диагонали АС, до пересечения со стороной ВС или CD в точке Е (рис. 172). Тогда прямая АЕ делит четырехугольник ABCD на равновеликие части.
Рис. 172
19.88. Приставим один из меньших квадратов к другому и отрежем от них два исходных прямоугольных треугольника, переложив их так, как показано на рис. 173.
Рис. 173
19.89. Если мысленно разрезать данный ящик на два ящика размером 20*15*9 и 20*15*5, то в каждом из них одно измерение будет делиться на 10, другое на 5 и еще одно на 3. Поэтому оба ящика, а значит, и исходный можно заполнить коробками.
19.90. Можно разместить 68 кругов так, как изображено на рис. 174. При этом останется неиспользованной полоска шириной
(последняя величина положительная, поскольку 
Рис. 174
19.91. Если бы это было возможно, то в круге радиуса 550 м можно было бы разместить без наложений 125 кружков радиуса 50 м каждый с центрами в скважинах. Но тогда общая площадь этих кружков, равная 125*2500*π м2 была бы меньше площади объемлющего круга, равной 550*550π м2, что не соответствует истине. Значит, указанное размещение скважин невозможно.
19.92. Если данная точка С не принадлежит окружности, то найдем точки D и Е пересечения прямых АС и ВС с окружностью, а затем точку F пересечения прямых АЕ и BD (рис. 175). Тогда прямая CF представляет собой искомый перпендикуляр.
Рис. 175
Если же точка С лежит на окружности, то проведем какой-либо перпендикуляр к диаметру АВ, пересекающий окружность в точках К и L (рис. 176), а затем найдем точки М и N пересечения прямой CL с диаметром АВ и прямой КМ с окружностью соответственно. Тогда прямая CN будет также перпендикулярна диаметру.
Рис. 176
19.93. Проведя на одинаковых расстояниях (равных ширине h линейки) от сторон данного угла параллельные прямые (рис. 177), мы получим ромб, диагональ которого делит угол пополам.
Рис. 177
19.94. Проведем по одинаковому количеству прямых, параллельных обеим сторонам угла, на расстояниях, кратных ширине h линейки. Соответствующие точки пересечения этих прямых лежат на биссектрисе угла (рис. 178).
Рис. 178
19.95. Проведем прямую, параллельную данному отрезку АВ, и построим треугольник АСВ, стороны АС и ВС которого пересекают прямую в точках D и Е (рис. 179). Тогда, проведя через точку F пересечения прямых АЕ и BD прямую CG, мы разделим отрезок АВ пополам.
Рис. 179
19.96. Используя конструкцию, описанную в решении задачи 19.95, построим два равнобедренных треугольника A1С1B1 и А2С2В2 (рис. 180) и проведем их медианы, на пересечении которых как раз и будет лежать центр окружности.
Рис. 180
19.97. Отложив на данной прямой две точки на расстоянии друг от друга, большем ширины h линейки, приложим двустороннюю линейку так, чтобы оба раза отмеченные точки примыкали к разным сторонам линейки (рис. 181). Проведя четыре соответствующие прямые, получим в пересечении ромб с одной диагональю, лежащей на данной прямой, и с другой диагональю, ей перпендикулярной.
Рис. 181
19.98. Отложим на сторонах угла от его вершины по два отрезка длиной 1 см каждый (см. задачу 9.7 и рис. 10). Соединив четыре полученные точки попарно крест-накрест, мы получим точку биссектрисы (рис. 182).
Рис. 182
19.99. Впишем в данную окружность два прямых угла, которые будут опираться на диаметры (рис. 183). Тогда точка пересечения этих диаметров укажет центр окружности.
Рис. 183
19.100. Построим два прямоугольника с общей стороной, совпадающей с данным отрезком. Тогда, соединив друг с другом точки пересечения их диагоналей, мы найдем середину этого отрезка (рис. 184).
Рис. 184
19.101. Можно сильно приблизить друг к другу вершины исходного прямоугольника, перенеся каждую из них вдоль длинной стороны к ее середине на ширину шоколадки (рис. 185).