Для доказательства правила 3 предположим, что обитатель острова X принадлежит к дневному типу. Пока он не спит, его суждения правильны и, следовательно, он твердо убежден, что бодрствует. Но во время сна его суждения неверны, и, следовательно, тогда он ошибочно полагает, будто он бодрствует. Итак, во время бодрствования он (правильно) считает, что бодрствует, а во время сна он (ошибочно) полагает, будто также бодрствует.
Правило 4 доказывается аналогично правилу 3, и мы предоставляем это сделать самому читателю.
Обращаясь теперь к решению задачи 1, заметим, что в данном случае невозможно определить, правильно ли суждение островитянина. Однако ясно, что в указанный момент он должен был бодрствовать, поскольку если бы островитянин спал, то он был бы убежден, что принадлежит не к дневному, а к ночному типу (согласно правилу 2).
Что касается задачи 2, то здесь также нельзя определить, было ли суждение островитянина верным, однако ясно, что он должен принадлежать к ночному типу, поскольку если бы это было не так, то данный житель острова был бы уверен, что он бодрствует, а не спит (согласно правилу 3).
В отношении же задачи 3 ответом па вопрос «а» является «нет» (потому что в соответствии с правилами 1 и 2 мнение островитянина но поводу того, принадлежит он к дневному или ночному типу, изменяется в зависимости от его состояния (то есть, от того, бодрствует он или же спит), а ответом на вопрос «б» является «да» (в соответствии с правилами 3 и 4).
4. Вы можете решать эту задачу последовательно, рассматривая по очереди каждый из следующих четырех вариантов: 1) островитянка относится к ночному типу и спит, 2) она принадлежит к ночному типу и бодрствует, 3) она относится к дневному типу и спит, 4) она принадлежит к дневному типу и бодрствует.
Можно выяснить, какой же из вариантов не противоречит условиям задачи. Тем не менее я предпочел бы следующее доказательство.
Прежде всего, могут ли убеждения обитательницы острова оказаться ошибочными? Если это так, то она не может ни находиться во сне, ни принадлежать к ночному типу, откуда следует, что она бодрствует и относится к дневному типу. Но такое утверждение приводит нас к противоречию, поскольку человек, который бодрствует и относится к дневному типу, никак не может обладать неверными убеждениями. Таким образом, ее убеждения не могут оказаться ошибочными, а значит, они должны быть верными. Следовательно, данная жительница острова принадлежит к ночному типу и спит.
5. Эту задачу тоже можно решить, последовательно перебрав четыре возможных ответа, но я вновь предпочитаю более творческое решение.
Итак, могло ли мнение этого островитянина оказаться правильным? Если да, то, значит, он действительно находился во сне и принадлежал к дневному типу. Но будучи таковым (то есть спящим и дневного типа), он никак не мог обладать правильным мнением. Таким образом, его суждение было бы ошибочным. Но единственные случаи, когда житель острова может иметь ошибочное суждение — это, когда он либо находится во сне и принадлежит к дневному типу, либо бодрствует и относится к ночному типу. Вместе с тем, если бы островитянин находился во сне и принадлежал к дневному типу, то его суждение оказалось бы правильным (ибо это и есть то, во что он верит). Следовательно, он должен был бодрствовать и относиться к ночному типу.
6. Если вы начнете решать эту задачу перебором, то вам придется рассмотреть 16 случаев! (Четыре возможности для мужа, и для каждого из этих 4 вариантов еще 4 — для жены.) К счастью, есть более простой подход. Прежде всего, поскольку один из супругов спит, а другой бодрствует, и, кроме того, поскольку их суждения прямо противоположны, то они непременно должны принадлежать к одному и тому же типу (то есть оба они одновременно должны относиться либо к дневному, либо к ночному типу). В самом деле, если бы они принадлежали к разным типам, то их суждения оказались бы прямо противоположными в случае, если бы они оба спали или оба бодрствовали, и совпали бы в случае, если бы один из них спал, а другой бодрствовал. Но поскольку мнения супругов, когда один из них спит, а другой бодрствует, не совпадают, то, значит, они должны принадлежать к одному типу.
Предположим поначалу, что оба они относятся к ночному типу. Тогда мнение мужа в тот момент было правильным, и, поскольку он относится к ночному типу, то, понятно, он должен был находиться во сне. Допустим теперь, что оба супруга принадлежат к дневному типу. Тогда очевидно, что муж ошибался, полагая, будто и он, и жена относятся к ночному типу, но поскольку он, согласно условию, принадлежит к дневному типу и к тому же мнение его ошибочно, то он в это время должен был находиться во сне. Итак, независимо от того, к какому типу относятся оба супруга, муж в тот момент должен был спать, а жена — бодрствовать.
7. Эта задача еще проще. Действительно, поскольку супруги принадлежат к разным типам, то их суждения должны быть прямо противоположными, если они находятся в одном и том же состоянии(то есть оба бодрствуют или оба спят), и одинаковыми, если они находятся в различных состояниях (то есть один из них спит, а другой бодрствует). Но поскольку в описываемом случае их мнения оказались противоположными, то, значит, оба они были в одном и том же состоянии, то есть оба спали или бодрствовали. Стало быть, жена Байрона была права.
8. Очевидно, в тот момент Эдвард находился несколько не в себе, одновременно придя к двум логически сключающим друг друга суждениям! Итак, оба утверждения Эдварда должны быть ошибочными. Но поскольку он считал, будто и он, и Элейн относятся к ночному типу, то, значит, оба они к ночному типу не принадлежат. А поскольку он к тому же полагал, что сам он к ночному типу не относится, то, следовательно, как раз он-то и принадлежит к ночному типу. Таким образом, Эдвард относится к ночному типу, но оба они к ночному типу не принадлежат, и, стало быть, Элейн относится к дневному типу. Наконец, поскольку Эдвард относится к ночному типу и в то же время высказал ошибочное суждение, то он должен был бодрствовать. Поэтому ответ таков: сам Эдвард принадлежит к ночному типу и в тот момент бодрствовал, а его сестра относится к дневному типу.
9. Поскольку принцесса перешла в другое состояние, то, стало быть, одно из двух ее суждений было правильным, а другое ошибочным. Это означает, что из следующих двух высказываний одно истинно, а другое ложно:
(1) Король и королева принадлежат к разным типам.
(2) Король относится к дневному типу, а королева принадлежит к ночному типу.
Если высказывание (2) истинно, тогда высказывание (1) также должно быть истинным, однако мы знаем, что высказывания (2) и (1) не могут быть истинны одновременно. Таким образом, высказывание (2) должно быть ложным, а высказывание (1) — истинным. Поэтому король и королева действительно принадлежат к разным типам, но утверждение, что король относится к дневному типу, а королева — к ночному, не соответствует истине. Следовательно, король должен относиться к ночному типу, а королева—к дневному.
10. Предположим, что Орк принадлежит к дневному типу и в тот момент бодрствовал. Следует ли из этого предположения, что Орк должен быть колдуном? Да, следует, и вот почему. Допустим, что Орк действительно относится к дневному типу и в то время бодрствовал. Тогда его суждения правильны, откуда следует, что в случае, если он относится к дневному типу и бодрствует, то он и есть колдун. Но он принадлежит к дневному типу и бодрствует (лишь по предположению), следовательно, он должен быть колдуном (опять-таки, конечно, при условии, что он относится к дневному типу и бодрствует). Таким образом, предположение о том, что Орк относится к дневному типу и бодрствует, приводит нас к выводу, что он — колдун. Это, разумеется, вовсе не указывает ни того, что исходное предположение правильно, ни того, что он колдун, — мы доказали только то, что если бы он относился к дневному типу и бодрствовал, то в этом случае он должен был быть колдуном. Итак, мы установили гипотетическое утверждение, что если бы Орк принадлежал к дневному типу и бодрствовал, то в таком случае он — колдун. Но именно в это гипотетическое утверждение Орк в тот момент и верил; следовательно, мнение Орка было верным! Это означает, что Орк в то время либо относился к дневному типу и бодрствовал, либо принадлежал к ночному типу и спал, однако (пока) мы не можем точно сказать, какой из этих двух вариантов имел место на самом деле. Поэтому наше допущение о том, что Орк является колдуном, совсем не обязательно должно быть истиной, поскольку вполне может оказаться, что он принадлежит к ночному типу и в тот момент спал.