Во-первых, мы рассматриваем лишь комбинации из букв Q, L, V, J? (совершенно очевидно, что только эти буквы играют в задаче существенную роль). Предположим теперь, что вместо этих букв мы будем использовать собственно цифры 2, 6, 4, 5 (то есть 2 вместо Q, 6 вместо L, 4 вместо V и 5 вместо R). Для удобства запишем это так:
Q L V R
2 6 4 5
Теперь посмотрим, какой вид примут первые четыре условия Фаркуса, если мы запишем их не в буквах, а в цифрах.
(1). Для любого числа Х число 2X2 является родственным числу X.
(2). Если число X родственно числу Y, то число 6Х оказывается родственным числу 2 У.
(3). Если число X родственно числу У, то число 4Х родственно числу Т.
(4). Если число X родственно числу У, то число 5Х родственно числу УУ.
Сразу видно, что это — точно те же правила, которым подчиняется последняя машина Мак-Каллоха, с той лишь разницей, что вместо слова «порождает» используется слово «родственно». (Конечно, я мог бы воспользоваться словом «порождает» и в гл. 8, где речь шла об условиях Фаркуса, но тогда читателю было бы слишком уж легко обо всем догадаться!)
Позвольте мне сказать это еще раз и поточнее. Для любой комбинации х, состоящей из букв Q, L, V, R, мы будем обозначать через х число, которое получается при замене Q на цифру 2, L на цифру 6, V на цифру 4 и R на цифру 5. Например, если это комбинация вида VQRLQ, то х — число 42562. При этом мы будем называть число х кодовым номером комбинации х. (Кстати, идея приписывания логическим высказываниям специальных чисел — так называемых «гёделевых номеров» — принадлежит известному логику Курту Гёделю и известна под названием гёделевой нумерации. Она очень важна, как мы увидим в IV части нашей книги.)
Значит, мы можем окончательно сформулировать главную мысль последнего абзаца в таком виде: для любых комбинаций х и у, составленных из четырех букв Q, L, V, R, если, исходя из правил MI, MII, MIII и MIV, используемых в последней машине Мак-Каллоха, можно показать, что число х порождает число у, то тогда, исходя из первых четырех условий Фаркуса, можно показать и то, что комбинация х является родственной по отношению к комбинации у, и наоборот
Таким образом, если мы находим число, которое юлжно порождать само себя в последней числовой машине Мак-Каллоха, то это число должно оказаться кодовым номером некой комбинации, родственной самой себе, причем эта комбинация будет открывать замок.
Но как же нам найти такое число N, которое, порождало бы само себя в нашей последней машине? Прежде всего будем искать некоторое число Н, такое, чтобы для любых чисел X и У, если число X порождает число У, число НХ порождало бы число Y2Y2. Если мы сумеем найти это число Н, тогда при любом У число Н2 У2 будет порождать число У2 У2 (потому что, согласно правилу MI, число 2У2 порождает число У), а значит, число Н2Н2 будет порождать число Н2Н2; тем самым мы получим искомое число N. Но как найти число Н?
Эта задача сводится к следующей: как, исходя из заданного числа У и последовательно применяя операции, которые способна выполнять наша машина, получить число У2У2? Так вот, построить число У2У2 из числа У можно следующим способом: сначала построить обращение числа У, получив число У; затем слева от «у» приписать цифру 2, получив тем самым число 2У; далее построить обращение числа 2Т, получив число У2; наконец, построить повторение числа У2, получив число У2 У2. Эти операции обозначаются соответственно операционными числами 4, 6, 4 и 5, поэтому в качестве Н мы выберем число 5464.
Давайте проверим, подходит ли нам найденное число Н. Пусть число X порождает число У; тогда мы должны выяснить, действительно ли число 5464Н порождает число У2У2. Но поскольку X порождает У, то число 4Х порождает число У (в соответствии с правилом MIII); значит, число 64Х порождает число 2V (в соответствии с правилом МII). Отсюда следует, что число 464Х порождает число У2 (в соответствии с правилом MIII), и, стало быть, число 5464Х порождает число У2У2 (в соответствии с правилом MIV). Итак, мы получили, что если X порождает У, то число НХ в самом деле порождает число Y2Y2.
Теперь, когда число Я найдено, выберем число N равным Н2Н2, в результате мы получим число 5464254642, которое порождает само себя. (Читатель может легко убедиться в этом самостоятельно.)
Но раз число 5464254642 порождает само себя, то, значит, это и есть кодовый номер той комбинации, которая открывает замок сейфа. Ясно, что указанная комбинация имеет вид RVLVQRVLVQ.
Конечно, задачу о сейфе из Монте-Карло можно решить и не преобразовывая ее в задачу для числовой машины, однако я привел здесь это решение по двум причинам. Во-первых, именно так решал во времени эту задачу сам Крейг, а во-вторых, я подумал, что читателю будет интересно увидеть, как две математические задачи могут иметь разное содержание, но одну и ту же абстрактную форму.
Для того чтобы непосредственно убедиться в том, что комбинация RVLVQRVLVQ является родственной по отношению к самой себе (а значит, и открывает замок), будем рассуждать следующим образом. Комбинация QRVLVQ родственна по отношению к комбинации RVLV (согласно свойству Q), поэтому комбинация VQRVLVQ будет родственной по отношению к обращению комбинации RVLV (согласно свойству V), то есть к комбинации VLVR. Значит, комбинация LVQRVLVQ родственна по отношению к комбинации QVLVR (согласно свойству L), и, следовательно, комбинация VLVQRVLVQ оказывается родственной по отношению к обращению комбинации QVLVR, то есть комбинации RVLVQ. Тогда (согласно свойству R) комбинация RVLVQRVLVQ будет родственной по отношению к повторению комбинации RVLVQ, то есть к комбинации RVLVQRVLVQ. Итак, комбинация RVLVQRVLVQ действительно является родственной самой себе.
Часть четвертая. Разрешима или неразрешима наша задача?
Логическая машина Фергюссона
Через несколько месяцев после того, как была с блеском разрешена загадка банковского сейфа в Монте-Карло, Крейг и Мак-Каллох наконец-то навестили Фергюссона — их очень заинтересовала его логическая машина. Разговор скоро зашел о сущности доказуемости.
— Я расскажу вам интересную и весьма поучительную историю, — сказал Фергюссон. — На экзамене по геометрии одного студента попросили доказать теорему Пифагора. Он сдал свою работу преподавателю, но тот возвратил ее с пометкой: «Это не доказательство!» Молодой человек пошел к преподавателю и сказал: «Сэр, как вы можете утверждать, будто то, что я вам сдал, — не доказательство? За весь курс лекций вы ни разу не дали нам определения доказательства. Вы давали нам строгие определения таких геометрических понятий, как треугольник, квадрат, окружность, параллельность, перпендикулярность и т. д., однако никогда не привели нам точного определения того, что же вы называете доказательством. Как же теперь вы можете так уверенно заявлять, будто мое доказательство — вовсе не доказательство? Как вы можете доказать, что оно не является доказательством?»
— Блестяще! — воскликнул Крейг, захлопав в ладоши. — Этот юноша далеко пойдет. А что же ответил преподаватель?
— К сожалению, — усмехнулся Фергюссон, — преподаватель оказался сухим педантом без чувства юмора и воображения. Он снизил студенту оценку за непочтительность.
— Очень жаль, — с досадой сказал Крейг. — Окажись я на месте преподавателя, непременно поставил бы этому студенту высший балл.
— Разумеется, — согласился Фергюссон, — я бы поступил точно так же. Но вы же прекрасно знаете, как часто преподаватели, лишенные творческого начала, побаиваются способных студентов.
— Должен признаться, — сказал Мак-Каллох, — что на месте этого преподавателя я бы тоже не смог ответить на вопрос студента. Разумеется, я похвалил мы его за толково поставленный вопрос, но ответить на него я бы все-таки не смог. В самом деле, что такое доказательство? Когда я сталкиваюсь с правильным доказательством, я почему-то всегда понимаю, что оно правильно; когда мне попадаются слабые аргументы, я обычно могу их указать. Но если бы меня попросили дать строгое определение доказательства, я тоже оказался бы в весьма затруднительном положении.