— Точно так же, как и почти все работающие математики, — поддержал Мак-Каллоха Фергюссон. — В девяносто девяти процентах случаев они вполне могут распознать правильность доказательства или указать на слабые места в неправильном доказательстве, однако не и состоянии привести точное определение доказательства. Нас же, логиков, интересует прежде всего анализ самого понятия «доказательство» — ведь мы хотим определить его так же строго, как и любое другое математическое понятие.
— Но раз большинство математиков все же понимают, что такое доказательство, хотя и не могут дать его четкого определения, то так ли уж важно искать его? — заметил Крейг.
— Важно, и по нескольким причинам, — ответил Фергюссон. — Но даже не будь этих причин, я все равно котел бы знать это определение ради самого определения. В истории математики часто случалось, что какие-то основные понятия, например понятие непрерывности, интуитивно понимались и осваивались еще задолго до того, как для них было введено строгое определение. Однако, получив четкое определение, данное понятие как бы переходит в новую категорию. Становится возможным установить связанные с ним факты, которые было бы очень трудно или вовсе невозможно открыть, не зная совершенно четко объема этого понятия. В этом смысле не является исключением и понятие «доказательство». Так, иногда случается, что в доказательстве используется какой-нибудь новый принцип — например аксиома выбора — и при этом часто возникает сомнение, является ли применение этого принципа законным. Так вот, строгое определение понятия «доказательство» позволяет точно указать, какие математические принципы можно использовать, а какие нельзя.
С другой стороны, особенно важно иметь точное определение доказательства тогда, когда нужно увидить, что данное математическое утверждение недоказуемо в той или иной системе аксиом. Данная ситуация очень похожа на положение дел с построением при помощи циркуля и линейки в евклидовой геометрии: там, для того чтобы показать, что некое построение (например, трисекция угла, квадратура круга или удвоение куба[6]) невозможно, требуется обычно более критическое определение понятия «построение», чем для того, чтобы показать, например, что то или иное геометрическое построение с помощью циркуля и линейки действительно возможно. То же самое происходит и с доказуемостью: чтобы продемонстрировать, что данное утверждение недоказуемо в некоторой исходной системе аксиом, требуется гораздо более строгое и критическое определение самого понятия «доказательство», чем для получения соответствующего положительного результата, а именно что данное утверждение в самом деле является доказуемым при принятии той или иной аксиомы.
— Итак, — продолжал Фергюссон, — если задана некоторая система аксиом, то доказательство в данной системе представляет собой конечную последовательность высказываний, построенную по очень строгим правилам. При этом оказывается совсем несложно чисто механическим путем решить, является ли данная последовательность высказываний доказательством в этой системе или нет. Собственно говоря, совсем несложно даже придумать машину, которая может это делать. Гораздо труднее оказывается создать такую машину, которая могла бы решать, какие высказывания в данной системе аксиом доказуемы, а какие нет.
— Ответ, я полагаю, зависит от выбора исходной системы аксиом…
— Сейчас меня интересуют вопросы механического доказательства теорем, то есть вопросы создания таких машин, которые могли бы доказывать различные математические истины. Вот, например, мое последнее детище, — сказал Фергюссон, с гордостью указав на какое-то престранное сооружение.
Крейг и Мак-Каллох несколько минут разглядывали машину, пытаясь разгадать ее назначение.
— И что же она умеет? — спросил наконец Крейг.
— Она может доказывать различные утверждения, касающиеся положительных целых чисел, — ответил Фергюссон. — Я использую язык, в котором имеются имена для разных множеств чисел, — точнее, подмножеств положительных целых чисел. При этом существует бесконечно много таких числовых множеств, которые поддаются наименованию на этом языке. Например, у нас имеются специальные названия для множества четных чисел, для множества нечетных чисел, для множества простых чисел, для множества чисел, делящихся на 3, и т. д. — вообще, можно сказать, что практически любое множество чисел, которое могло бы представить интерес для специалиста по теории чисел, обладает своим именем на этом языке. И хотя сама совокупность числовых множеств, поддающихся описанию на этом языке, содержит бесконечно много элементов, она (по мощности. — Перев.) будет все же не больше, чем множество всех положительных чисел. С каждым положительным целым числом n оказывается связанным определенное множество чисел Аn, имеющее имя на нашем языке — это позволяет представить себе, что все именуемые множества расположены в виде последовательности А1, А2…., Аn… (Если хотите, можете вообразить себе, например, книгу с бесконечным числом страниц, причем для каждого целого положительного n на соответствующей n-й странице приведено описание того или иного множества положительных целых чисел. Тогда система An — это множество, описанное на n-й странице этой книги.)
Введем теперь математический символ Є, который означает «принадлежит» или «является членом». Для каждого числа х и произвольного числа у мы можем сформировать утверждение х Є Ау, которое означает, что х принадлежит множеству Ау. Это единственный вид утверждений, которые воспринимает моя машина. При этом задача машины состоит в том, чтобы определить, какие числа каким поддающимся описанию множествам принадлежат.
Далее, каждое утверждение х Є Ау имеет свой кодовый номер — число, которое, будучи записано в обычной десятичной системе счисления, состоит из цепочки единиц длиной х и следующей за ней цепочки нулей длиной у. Например, кодовый номер утверждения З Є А2 выглядит как 11100; кодовый номер утверждения 1 Є А5 имеет вид 100000. При этом кодовый номер утверждения х Є Ау, то есть число, состоящее из х единиц и следующих за ними у нулей, я буду обозначать символом х*у.
— Машина работает следующим образом, — продолжал Фергюссон. — Когда она обнаруживает, что число х принадлежит множеству Ау, то она отпечатывает число х*у, то есть кодовый номер утверждения х Є Ау. Если при этом машина печатает число х*у, то я говорю, что машина доказала утверждение х Є Ау. Кроме того, если машина способна напечатать число х*у, то я говорю, что утверждение х Є Ау доказуемо (с помощью моей машины).
Наконец, я знаю, что моя машина всегда точна — в том смысле, что каждое утверждение, которое можно доказать с ее помощью, является истинным.
— Минуточку, — вмешался Крейг. — Что значит «является истинным»? Какая разница между «является истинным» и «доказуемо»?
— Да это же совершенно разные вещи, — объяснил Фергюссон. — Я говорю, что утверждение х Є Ау истинно, если х действительно является элементом множества А у. Если же оказывается, что машина способна напечатать число х*у, тогда я говорю, что утверждение х Є А, доказуемо с помощью моей машины.
— Вот теперь ясно, — сказал Крейг. — Другими словами, утверждая, что ваша машина точна — или, иначе, что каждое утверждение, доказуемое с помощью машины, является истинным, — вы имеете в виду, что ваша машина никогда не напечатает число х*у, если х в действительности не принадлежит множеству Ау. Правильно я понял?
— Совершенно верно! — ответил Фергюссон.
— Скажите, а почему вы так уверены, что машина всегда точна? — спросил Крейг.
— Чтобы ответить на этот вопрос, я должен рассказать о ней более подробно, — ответил Фергюссон. — Дело в том, что машина работает на основе определенных аксиом относительно положительных целых чисел; эти аксиомы запрограммированы в машине в виде неких команд. Все эти аксиомы представляют собой хорошо известные математические истины. При этом машина не может доказать какое-либо утверждение, если оно не вытекает логически из этих аксиом. Но поскольку все аксиомы истинны, а любое логическое следствие из истинных утверждений тоже является истинным, то, стало быть, машина не способна доказать ложное утверждение. Если хотите, я могу перечислить эти аксиомы, и вы убедитесь сами, что машина действительно может доказывать только истинные утверждения.
6
То есть построение куба с объемом, вдвое большим, чем объем данного куба. — Прим. перев.