Далее, поскольку утверждение 75ЄА75 истинно, то число 75 действительно принадлежит множеству Аn. Поэтому оно не может принадлежать множеству А 25 (согласно свойству 2), и, следовательно, число 75 * 75 в свою очередь не может принадлежать множеству А8, поскольку если бы это было так, то тогда, согласно свойству 3, число 75 принадлежало бы множеству а25. Поскольку ясно, что число 75 * 75 не принадлежит множеству Ag, то утверждение 756А75 не может быть доказано машиной. Итак, утверждение 75ЄA75 является истинным, но оно недоказуемо с помощью машины.
2. Прежде чем рассматривать другие решения, установим следующий факт весьма общего свойства. Пусть для всего дальнейшего ключевым является множество К — это множество всех чисел х, для которых утверждение х Є Аx недоказуемо машиной, или, что то же самое, множество таких чисел х, для которых число х*х не может быть напечатано машиной. Далее, множество А75 как раз и есть такое множество К, потому что утверждение, что х принадлежит множеству Аn, равносильно утверждению, что х не принадлежит множеству A25, что в свою очередь равносильно утверждению, что число х*х не принадлежит множеству А8, где А8 — это множество тех чисел, которые машина может напечатать. Итак, А75 = К. Но при этом и Аn = К, потому что утверждение, что некое число х принадлежит множеству An, равносильно утверждению, что число х*х принадлежит множеству А8 (согласно свойству 3, поскольку 73 = 3x24+1), что в свою очередь равносильно утверждению, что число х+х не принадлежит множеству А8 (согласно свойству 2). Таким образом, А75 — это множество всех тех чисел х, для которых число х*х не принадлежит множеству А8 или, что то же самое, множество всех чисел х, для которых утверждение х Є Аx не может быть доказано машиной. Следовательно, А73 — это то же самое множество чисел, что и A75 поскольку оба они тождественны множеству К. Более того, для любого заданного числа n, для которого Аn = К, утверждение n Є А* должно быть истинным, но недоказуемым с помощью машины. Это можно показать буквально с помощью тех же самых рассуждений, что и в рассмотренном нами частном случае n = 75 (в еще более общей форме эти рассуждения приведены в следующей главе). Тем самым мы получаем, что утверждение 73 Є А73 — это еще один пример истинного утверждения, кодовый номер которого машина напечатать не может.
3. Для любого числа n множество А9n должно совпадать с множеством n. В самом деле, множество А9n есть дополнение множества A3n, а множество А3n в свою очередь есть дополнение множества n; следовательно, множество А9n совпадает с Аn, Это означает, что множество A675 совпадает с множеством A75, и, стало быть, утверждение 675 Є А675 — это есть еще одно решение задачи. Аналогично утверждение 2175 Є A2175также является решением. Таким образом, мы получаем, что существует бесконечно много истинных утверждений, которые машина Фергюссона доказать не может: например, для любого n, которое равно произведению 75 на некоторое кратное числа 9 или произведению 73 на произвольное кратное числа 9, утверждение n Є А, является истинным, но недоказуемым посредством этой машины.
Доказуемость и истина
Крупной вехой в истории математической логики стал 1931 г. Именно в этом году Гёдель опубликовал знаменитую теорему о неполноте. Свою эпохальную работу[8] он начинает следующими словами:
«Развитие математики в направлении все большей точности привело к формализации целых ее областей, в связи с чем стало возможно проводить доказательства, пользуясь небольшим числом чисто механических правил. В настоящий момент наиболее исчерпывающими системами являются, с одной стороны, система аксиом, предложенная Уайтхедом и Расселом в работе «Princlpia Mathematica», а с другой — система Цермело—Френкеля в аксиоматической теории множеств. Обе эти системы настолько обширны, что в них оказывается возможным формализовать все методы доказательства, используемые сегодня в математике, — иначе говоря, все эти методы могут быть сведены к нескольким аксиомам и правилам вывода. Поэтому, казалось бы, разумно предположить, что указанных аксиом и правил вполне хватит для разрешения всех математических проблем, которые могут быть сформулированы в пределах данной системы. Ниже будет показано, что дело обстоит не так. В обеих упомянутых системах имеются сравнительно простые задачи из теории обычных целых чисел, которые не могут быть решены на базе этих аксиом».[9]
Далее Гёдель объясняет, что такая ситуация обусловлена отнюдь не какими-то специфическими особенностями двух упомянутых систем, но имеет место для обширного класса математических систем.
Что имеется в виду под «обширным классом» математических систем? Это выражение интерпретировалось по-разному, и соответственно по-разному обобщалась теорема Гёделя. Как ни странно, одно из самых простых и доступных для неспециалиста объяснений остается наименее известным. Это тем более удивительно, что на такое объяснение указывал и сам Гёдель во вводной части своей первой работы. К нему мы сейчас и обратимся.
Рассмотрим систему аксиом со следующими свойствами. Прежде всего пусть у нас имеются имена для различных множеств положительных целых чисел, причем все эти «именуемые», или допускающие наименование, множества мы можем расположить в виде бесконечной последовательности А1, А2…, An… (точно так же, как в системе Фергюссона, рассмотренной в предыдущей главе). Назовем число n индексом именуемого множества А, если А=n. (Таким образом, если, например, множества А2, А7 и A13 совпадают между собой, то тогда числа 2, 7 и 13 — это все индексы одного и того же множества.) Как и для системы Фергюссона, с каждым числом х и с каждым числом у мы связываем утверждение, записываемое в виде х Є Ау, которое называется истинным, если х принадлежит А у, и ложным, если х не принадлежит Ау. Однако в дальнейшем мы не предполагаем, что утверждения типа х Є Ау являются единственно возможными утверждениями в данной системе, поскольку могут существовать и другие. Предполагается также, что любое возможное утверждение обязательно классифицируется либо как истинное, либо как ложное.
Каждому утверждению в данной системе присваивается некий кодовый номер, который мы будем называть геделевым номером, причем гёделев номер утверждения x Є АУ будем обозначать х*у. (Теперь уже нет нужды предполагать, что число х*у состоит из цепочки единиц миной х, за которой следует цепочка нулей длиной у; cам Гёдель фактически использовал совсем другую кодовую нумерацию. Можно пользоваться самыми разными видами кодовой нумерации, и какой вид оказывался более удобным — это зависит от конкретного вида рассматриваемой нами системы. Так или иначе, для доказательства той общей теоремы, которую мы скоро докажем, нет необходимости вводить какую-то конкретную гёделеву нумерацию.)
Определенные утверждения в данной системе принимаются как аксиомы; кроме того, вводятся также некие специальные правила, по которым можно на основании этих аксиом доказывать различные другие утверждения. Таким образом, в данной системе имеется иполне определенное свойство утверждения, называемое его доказуемостью.
Далее предполагается, что система правильна в том смысле, что каждое доказуемое в этой системе утверждение является истинным; отсюда, в частности, следует, что если утверждение x Є Aу доказуемо в данной системе, то число х действительно является элементом множества Ау.
Пусть Р — это набор гёделевых номеров всех доказуемых в данной системе утверждений. Пусть опять же для любого множества чисел А его дополнение обозначается символом А (это множество всех чисел, не принадлежащих А). Наконец, через А* мы будем обозначать множество всех чисел х, для которых число x*х принадлежит А. При этом нас будут интересовать системы, для которых выполняются следующие три условия Gi, G2 и G3:
Условие G1. Множество Р допускает наименование в данной системе. Иначе говоря, существует по крайней мере одно число р, для которого Ар представляет собой множество гёделевых номеров доказуемых утверждений. (Для системы Фергюссона таким р было число 8.)
8
«Uber formal unentscheidbare Satze der «Principia Mathematica» und verwandter Systeme'I» («О формально неразрешимых предложениях «Принципов математики» и других родственных систем»), Моnatshefte fur Mathematik und Physik, 38, 173–198.