Множества R. и N не являются эквивалентными, и N ⊂ R, поэтому всех действительных чисел в некотором смысле «больше» чем натуральных. Говорят, что мощность множества R. (мощность континуума) больше чем мощность N.
Континуум-гипотеза
Теперь мы располагаем всеми необходимыми сведениями для того, чтобы сформулировать знаменитую первую проблему Гильберта:
Континуум-гипотеза. С точностью до эквивалентности, существуют только два типа бесконечных числовых множеств: счётное множество и континуум.
Иначе говоря, нужно установить, существует ли множество промежуточной мощности, т. е. такое множество Τ, N ⊂ Τ ⊂ R, которое не эквивалентно ни N, ни R.
- 13 -
Этой проблемой занимались очень многие математики. Сам Георг Кантор неоднократно заявлял, что доказал эту гипотезу, но всякий раз находил у себя ошибку.
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ В МАТЕМАТИКЕ
Математика — точная наука, требующая строгости рассуждений. Но что означает строго доказать какое-либо утверждение? Это означает вывести его из аксиом — исходных положений, принимаемых без доказательства.
Конечно, в выборе аксиом, которые закладываются в основу теории, есть некоторый произвол. Но обычно аксиомы возникают естественным путём, из познания действительности. В теории множеств, частью которой являются конструкции, описанные в предыдущих разделах, тоже имеется общепризнанная система аксиом Цермело—Френкеля.
Доказать континуум-гипотезу — значит, вывести её из этих аксиом. Опровергнуть её — значит, показать, что если её добавить к этой системе аксиом, то получится противоречивый набор утверждений.
Решение проблемы
— Г-голубчики, — сказал Фёдор Симеонович озадаченно... — Это же проблема Бен Б-бецалеля. К-калиостро же доказал, что она н-не имеет р-решения.
— Мы сами знаем, что она не имеет решения, — сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь. — Мы хотим знать, как её решать.
— К-как-то ты странно рассуждаешь, К-кристо... К-как же искать решение, к-когда его нет? Б-бессмыслица какая-то...
— Извини, Теодор, но это ты очень странно рассуждаешь. Бессмыслица — искать решение, если оно и так есть. Речь идёт о том, как поступать с задачей, которая решения не имеет. Это глубоко принципиальный вопрос...
Оказалось, что первая проблема Гильберта имеет совершенно неожиданное решение.
В 1963 году американский математик Паул Коэн доказал, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
- 14 -
Это означает, что если взять стандартную систему аксиом Цермело—Френкеля (ZF) и добавить к ней континуум-гипотезу в качестве ещё одной аксиомы, то получится непротиворечивая система утверждений. Но если к ZF добавить отрицание континуум-гипотезы (т. е. противоположное утверждение), то вновь получится непротиворечивая система утверждений.
Таким образом, ни континуум-гипотезу, ни её отрицание нельзя вывести из стандартной системы аксиом.
Этот вывод произвёл очень сильный эффект и даже отразился в литературе (см. эпиграф).
Как же поступать с этой гипотезой? Обычно её просто присоединяют к системе аксиом Цермело—Френкеля. Но каждый раз, когда что-либо доказывают, опираясь на континуум- гипотезу, обязательно указывают, что она была использована при доказательстве.
Седьмая проблема Гильберта
Вернёмся к подмножествам числовой прямой. Рассмотрим снова цепочку
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Мы уже доказали, что действительных чисел «больше» чем рациональных, потому что Q счётно, R — несчётно. Значит, существуют иррациональные (не являющиеся рациональными) действительные числа. (На самом деле, иррациональных чисел «намного больше» чем рациональных, и если случайным образом бросить точку на числовую прямую, она почти наверняка попадёт в иррациональное число.)
Заметим, что мы доказали теорему существования иррациональных чисел, не предъявив ни одного иррационального числа.
Но совсем нетрудно привести и пример иррационального числа, например, это √2- Действительно, пусть это число
- 15 -
рационально. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:
√2 = p/q