где р и q — целые числа, не имеющие общих делителей (кроме 1). Возведя это равенство в квадрат, получим
2q2 =p2.
Значит, р2 четно, р · р делится на 2. Поэтому р делится на 2, а значит, р2 делится на 4. (Если р = 2р1, то р2 = 4p12.) Тогда
2q2 = 4p12,
q2 = 2p12.
Это означает, что q2 делится на 2, поэтому и q делится на 2.
Мы получили, что и р, и q делятся на 2, и дробь p/q можно сократить на 2. Но мы же предполагали, что эта дробь несократима! Полученное противоречие означает, что √2 не может быть рациональным числом.
Итак, √2 — число иррациональное.
Конечно, когда мы доказали иррациональность числа √2, мы тем самым ещё раз доказали теорему существования иррациональных чисел. Однако существуют и такие классы чисел, доказать существование которых намного проще, чем построить конкретный пример.
Алгебраические и трансцендентные числа
Число α называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с целыми коэффициентами
anxn + an-1xn-1 + ... + а1х + а0
(т. е. корнем уравнения anxn + an-1xn-1 + ... + а1х + а0 = 0,
где an, an-1 , ... + а1, а0 — целые числа, n ≥ 1, an ≠ 0).
Множество алгебраических чисел обозначим буквой А.
- 16 -
Легко видеть, что любое рациональное число является алгебраическим. Действительно, p/q - корень уравнения qx—p = 0 с целыми коэффициентами а1 = q и а0 = —р. Итак, Q ⊂ А.
Однако не все алгебраические числа рациональны: например, число √2 является корнем уравнения х2 — 2 = 0, следовательно, √2 — алгебраическое число.
Долгое время оставался нерешённым важный для математики вопрос:
Существуют ли неалгебраические действительные числа?
Только в 1844 году Лиувилль* впервые привел пример трансцендентного (т. е. неалгебраического) числа.
Построение этого числа и доказательство его трансцендентности очень сложны. Доказать теорему существования трансцендентных чисел можно значительно проще, используя соображения об эквивалентности и неэквивалентности числовых множеств.
А именно, докажем, что множество алгебраических чисел счётно. Тогда, поскольку множество всех действительных чисел несчётно, мы установим существование неалгебраических чисел.
Построим взаимно однозначное соответствие между А и некоторым подмножеством Q. Это будет означать, что А — конечно либо счётно. Но поскольку Q ⊂ А, то А бесконечно, и значит, счётно.
Пусть α — некоторое алгебраическое число. Рассмотрим все многочлены с целыми коэффициентами, корнем которых является α, и выберем среди них многочлен Р минимальной степени (т. е. α не будет корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами меньшей степени).
Например, для рационального числа такой многочлен имеет степень 1, а для числа √2 — степень 2.
Разделим все коэффициенты многочлена Р на их наибольший общий делитель. Получим многочлен, коэффициенты
------------------
* Жозеф Лиувилль A809-1882) — французский математик.
- 17 -
которого взаимно просты в совокупности (их наибольший общий делитель равен 1). Наконец, если старший коэффициент ап отрицателен, умножим все коэффициенты многочлена на —1.
Полученный многочлен (т. е. многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число α, имеющий минимально возможную степень, взаимно простые коэффициенты и положительный старший коэффициент) называется минимальным многочленом числа α.
Можно доказать, что такой многочлен определяется однозначно: каждое алгебраическое число имеет ровно один минимальный многочлен.
Количество действительных корней многочлена не больше чем его степень. Значит, можно пронумеровать (например, по возрастанию) все корни такого многочлена.
Теперь всякое алгебраическое число α полностью определяется своим минимальным многочленом (т. е. набором его коэффициентов) и номером, который отличает α от других корней этого многочлена:
α → (a0,a1, ... , an-1,an,k)
Итак, каждому алгебраическому числу α мы поставили в соответствие конечный набор целых чисел, причём по этому набору а восстанавливается однозначно (т.е. разным числам соответствуют разные наборы).
Пронумеруем в порядке возрастания все простые числа (нетрудно показать, что их бесконечно много). Получим бесконечную последовательность {pk}: p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, ... Теперь набору целых чисел (а0, a1,..., an-1,an,k) можно поставить в соответствие произведение