Итак, этот школьник предъявил две пары чисел а и b, таких что одна из этих пар удовлетворяет поставленному условию, но ему неизвестно, какая именно. Но ведь предъявить такую пару и не требовалось! Таким образом, это элегантное решение в некотором смысле представляет собой теорему существования.
- 21 -
Десятая проблема Гильберта:
Эта проблема также связана с теорией чисел. Ещё древнегреческий математик Диофант пытался ответить на следующий вопрос:
Дано уравнение с целыми коффициентами. Имеет ли оно целые решения!
Приведём в качестве примера уравнение х2 + у2 = z2, обладающее замечательным свойством: если тройка натуральных чисел (x0, y0, z0) ему удовлетворяет (как, например, тройка (3,4,5)), то по теореме, обратной к теореме Пифагора, из отрезков длины x0, y0 и z0 можно сложить прямоугольный треугольник и, таким образом, построить прямой угол.
Снова геометрическая задача решается методами теории чисел! Нетрудно описать все натуральные решения этого уравнения. Они имеют следующий вид:
x = (m2 –n2)l, у = 2mnl, z = (m2 + n2)l,
плюс решения, получающиеся перестановкой х и у (m, n и l — произвольные натуральные числа, n < m ).
Естественным обобщением предыдущего уравнения является известное уравнение xn + yn = zn, n ∈ N. Великая теорема Ферма утверждает, что это уравнение при n > 2 не имеет решений в целых числах.
Эта задача, которая, казалось бы, не очень сильно отличается от предыдущей, оказалась чудовищно трудной. На протяжении нескольких веков её пытались решить математики самого высокого класса. Для её решения пришлось построить исключительно сложный математический аппарат. И только несколько лет назад английский математик Эндрю Уайлс окончательно решил эту проблему и доказал Великую теорему Ферма.
Однако уже уравнение хn +уn = 2zn, которое, на первый взгляд, сложнее теоремы Ферма, имеет при любом n целочисленные решения вида x = y = z = k, k ∈ Z.
- 22 -
Возникает естественный вопрос:
Нет ли какого-нибудь способа по виду уравнения, по его коэффициентам определять, имеет ли это уравнение решение в целых числах?
Иными словами, хотелось бы иметь общий алгоритм, с помощью которого можно было бы по любому уравнению выяснить, имеет ли оно целочисленное решение.
Это и есть десятая проблема Гильберта.
В 1970 году советский математик Ю. В. Матиясевич доказал, что такого алгоритма, к сожалению, не существует.
Заключение
До сих пор не решены две знаменитые проблемы Гильберта: одна — о нулях дзета-функции Римана (8-я проблема), другая — о предельных циклах (16-я проблема). Видимо, они уже не будут решены в этом столетии.
Мы стоим на пороге нового тысячелетия. Как известно, 2000-й год объявлен ЮНЕСКО годом математики. Но найдётся ли на рубеже веков математик, который сможет, подобно Гильберту, сформулировать такие задачи, которые определят развитие математики будущего столетия?
---=======---
Об авторе
Болибрух А.А.
Андрей Андреевич Болибрух (30 января 1950, Москва — 11 ноября 2003, Париж) — российский математик, специалист в области аналитической теории дифференциальных уравнений, глобального анализа, топологии. Академик РАН (1997). Дал отрицательное решение 21-й проблемы Гильберта.
В 1967 году окончил с золотой медалью школу-интернат № 45 при ЛГУ, в 1972 году — механико-математический факультет МГУ. Работал в отделе дифференциальных уравнений Математического института имени Стеклова, преподавал на кафедрах дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ и высшей математики МФТИ.
Защитил кандидатскую диссертацию «О фундаментальной матрице системы Пфаффа типа Фукса». В 1989 году получил отрицательное решение 21-й проблемы Гильберта. В 1991 году защитил докторскую диссертацию «Проблема Римана — Гильберта». Профессор кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ (1996). Заместитель директора Математического института имени Стеклова РАН.
Избран членом-корреспондентом РАН по Отделению математических наук в 1994 году, академиком РАН в 1997 году. Вице-президент Московского математического общества, член Американского математического общества.
Лауреат премии имени Ляпунова РАН за цикл работ «21-я проблема Гильберта для линейных фуксовых систем» (1995). В 2001 году был удостоен Государственной премии России в области науки и техники за цикл работ «Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами».