Головоломка 7.
Возьмем n = 3n' + 2. Тогда (2n − 1)/3 = 2n' + 1.
По общему правилу, непосредственно следующий за нечетным числом 2n' + 1 элемент равен (3(2n' + 1) + 1)/2 = 3n' + 2.
Если n дает n' при переходе (p, q), q > 1, т. е. если n имеет вид n = (2p(2qn' + 1)/3p) − 1, то
n'' = (n − 1)/2 = (2p−1(2qn' + 1)/Зp) − 1.
Как и следовало ожидать, это имеет в точности тот смысл, что если деление на Зp можно выполнить нацело, то в связи с этим возникает соотношение между (p, q) и n'.
Если n" увеличить на 1, а затем умножить на 3p−1/2p−1, то получится (2qn' + 1)/3.
Тогда нужно уменьшить результат на 1: получим (2qn' − 2)/3. Но это число делится на 2, так что с помощью перехода (p − 1, 1) число n" дает
(2q−1n' − 1)/3.
По общим правилам получаем
3 ((2q−1n' − 1)/3) + 1 = 2q−1n',
а затем n', что и доказывает наше утверждение.
Если вы примените это правило перехода к 4k + 1, то нужно добавить 1, что дает 4k + 2, делящееся на 2, но не на 4. Делим на 2 и умножаем на 3, что дает 6k + 3. Уменьшаем на 1 и затем делим на 2, и получается Зk + 1.
Если k нечетно, то это — элемент, следующий за k; так что за числом вида 4k + 1 с k нечетным следуют те же величины, что и за k.
Если k четно, то 4k + 1 дает 3k + 1.
Если существует цикл с единственным переходом p, q, т. е.
n = (2p(2qn + 1)/3p) − 1,
то это возможно только в случае, когда существует такая пара p, q, что число
(Зp − 2p)/(2p+q − Зp)
— целое. Мы показали, что такой пары (p, q) нет.
Головоломка 10.
9*АВСДЕ + АВСДЕ = 10*АВСДЕ, что можно записать как АВСДЕ0. Отсюда получаем зашифрованное сложение:
FGHIJ + ABCDE = ABCDE0
Это показывает, что A = 1. Далее, J + E не может быть нулем, следовательно, J + Е = 10 и для I есть кое-что «в уме». Сумма F + A дает AB с A = 1, так что сумма F + 1, к которой, может быть, добавлено что-то «в уме», должна дать число, большее 9. Это может быть только в случаях 1 + 8 + 1 = 10, 9 + 1=10 или 1 + 9 + 1 = 11. Но, так как B ≠ A, то B = 0.
Тогда в сумме G + B рассмотрим цифру C как цифру единиц. Так как В = 0, то это означает, что для G «в уме» кое-что есть (потому что G ≠ С).
Отсюда получаем схему операции сложения:
Запишем, что A + B + C + D + E + F + G + H + I + J = 45,
А = 1, B = 0.
Запишем пять операций сложения с учетом переносов в старший разряд:
J + E = 10,
1 + I + D = 10k + E,
k + H + C = 10 + D,
1 + G + В = 10k' + С,
k' + F + A = 10.
Сложим их все. Вам остается
C + D + E = 17 − 9(k + k').
Но С + D + E не может быть меньше, чем 2 + 3 + 4 = 9, и не может быть больше, чем 6 + 7 + 9 (если F = 8 и k' = 1). Не может быть, чтобы у вас одновременно выполнялись соотношения k = k' = 1 (что давало бы отрицательную сумму С + D + E). Но не может быть и равенства k + k' = 1, так как тогда было бы С + D + E = 17 − 9 = 8, что слишком мало. Следовательно, k = k' = 0. Составим окончательную систему